1 варик реши

Вариант 1

1. Пересечения прямой \(MN\) с плоскостями

На рисунке 1 точки взяты на рёбрах \(BB_1\) и \(CC_1\), поэтому прямая \(MN\) лежит в задней грани \(BB_1C_1C\).

• Продли \(MN\) до пересечения с прямой \(BC\). Полученная точка
  \[ K=MN\cap(ABC). \]
• Продли \(MN\) до пересечения с прямой \(B_1C_1\). Полученная точка
  \[ L=MN\cap(A_1B_1C_1). \]

На рисунке, судя по расположению точек, \(K\) получается на продолжении \(BC\) за \(C\), а \(L\) — на продолжении \(B_1C_1\) за \(B_1\).

Почему так: грань \(BB_1C_1C\) пересекает нижнюю плоскость \(ABC\) по прямой \(BC\), а верхнюю плоскость \(A_1B_1C_1\) — по прямой \(B_1C_1\). Значит, пересечение \(MN\) с этими плоскостями ищется на этих прямых.

2. Рисунок 2

На рисунке отмечены \(A_1\), \(D_1\) и \(M\in DC\).

Построй точку
\[ T=AB\cap \ell, \] где \(\ell\) — прямая, проведённая через \(A_1\) параллельно \(D_1M\).
Можно и так: через \(M\) в нижней грани провести прямую, параллельную \(A_1D_1\), до пересечения с \(AB\).

Сечение — четырёхугольник
\[ \boxed{A_1D_1MT}. \] Соединяем:

• \(A_1D_1\) — ребро куба,
• \(D_1M\) — в правой грани,
• \(MT\) — в нижней грани,
• \(TA_1\) — в левой грани.

Параллельность \(MT\parallel A_1D_1\) следует из того, что секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.

3. Рисунок 3

На рисунке отмечены \(P\in B_1C_1\), \(M\in AA_1\), \(N\in CC_1\).

Построение:

1. В грани \(BB_1C_1C\) проведи \(PN\). Пусть
   \[ X=PN\cap BB_1 \] на продолжении \(BB_1\).
2. В грани \(ABB_1A_1\) проведи \(MX\). Пусть
   \[ Q=MX\cap A_1B_1. \]
3. Пусть
   \[ Y=PN\cap BC \] на продолжении \(BC\).
4. Пусть
   \[ Z=MX\cap AB \] на продолжении \(AB\).
5. В нижней плоскости проведи прямую \(YZ\). Пусть она пересекает \(AD\) в точке \(R\), а \(DC\) — в точке \(S\).
6. Соедини последовательно: \[ M-Q-P-N-S-R-M. \]

Сечение — шестиугольник
\[ \boxed{MQPNSR}. \]

Проверка: каждая сторона сечения лежит в соответствующей грани:

• \(MQ\) — в левой грани,
• \(QP\) — в верхней,
• \(PN\) — в задней,
• \(NS\) — в правой,
• \(SR\) — в нижней,
• \(RM\) — в передней.

Если на рисунке 2 в твоём варианте отмечена вершина \(A\), а не \(A_1\), то сечение будет проще — треугольник \(AD_1M\): нужно просто соединить эти три точки.