Реши задание на изображении

Краткий ответ: \(\sqrt{31}\) — первый вариант.

Почему так:

В треугольнике известны две стороны, выходящие из угла \(C\): \[ AC=5,\quad BC=6,\quad \angle C=60^\circ \] Третью сторону \(AB\), лежащую против угла \(C\), находим по теореме косинусов: \[ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C \]

Подставляем: \[ AB^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \cos60^\circ \] \[ AB^2=25+36-60\cdot \frac12 \] \[ AB^2=61-30=31 \] \[ AB=\sqrt{31} \]

Проверка: \(\sqrt{31}\approx5{,}57\), это меньше \(5+6=11\) и больше \(6-5=1\), значит сторона возможна.