Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый)
Уравнение приведённое: коэффициент при $x^2$ равен 1. Значит, для $x^2+px+q=0$:
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q$$
Здесь $p=-5$, $q=6$, поэтому:
$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$
Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3. Принцип подбора: произведение задаёт «пары делителей» свободного члена — выписываем делители 6: $1\cdot6$, $2\cdot3$ (и варианты со знаком минус) — и проверяем, какая пара даёт нужную сумму.
Способ 2. Через дискриминант (универсальный)
Для $ax^2+bx+c=0$: $a=1,\ b=-5,\ c=6$.
$$D=b^2-4ac=25-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0$$
Корней два:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}$$
$$x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2$$
Проверка
- $x=2$: $4-10+6=0$ ✔
- $x=3$: $9-15+6=0$ ✔
- Виета: $2+3=5=-p$, $2\cdot3=6=q$ ✔
Ещё одна полезная запись — разложение на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой, — отсюда те же корни.
Что важно запомнить для похожих заданий
- Если $a=1$ — пробуй Виета: сумма корней равна $-b$, произведение равно $c$ (подбирай делители $c$).
- Если $a\neq1$ (например, $2x^2-7x+3=0$) — либо делят всё уравнение на $a$, либо сразу считают $D=b^2-4ac$ и $x=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$.
- $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
- Всегда делай быструю проверку по сумме и произведению — она ловит ошибку в знаках.
