Реши это без интегралов, без синусов, без косинусов, без тангенса через формулы параболы
Ответ: \(S' = 16S_0\) — при том же угле бросания.
Почему так:
Траектория — парабола. Площадь под её дугой пропорциональна произведению дальности \(L\) и максимальной высоты \(H\): \[ S=\frac{2}{3}LH. \] Это известная формула площади параболического сегмента, интегралы не нужны. Уравнение такой параболы: \[ y=4H\frac{x}{L}\left(1-\frac{x}{L}\right). \]
Обозначим горизонтальную и вертикальную составляющие скорости как \(v_x\) и \(v_y\). Тогда: \[ H=\frac{v_y^2}{2g}, \] \[ t_{\text{полёта}}=\frac{2v_y}{g}, \] \[ L=v_x t=\frac{2v_xv_y}{g}. \]
Если начальную скорость увеличить в 2 раза при том же угле, то обе составляющие тоже увеличатся в 2 раза: \[ v_x'=2v_x,\qquad v_y'=2v_y. \] Поэтому: \[ H'=4H,\qquad L'=4L. \]
Значит площадь увеличится так: \[ S'=\frac{2}{3}L'H' =\frac{2}{3}(4L)(4H) =16\cdot\frac{2}{3}LH =16S_0. \]
Проверка: \(L\sim v_0^2\), \(H\sim v_0^2\), значит \(S\sim v_0^4\). При увеличении \(v_0\) в 2 раза площадь растёт в \(2^4=16\) раз.
Обсуждение
2 сообщенияПочему площадь под параболой равна 2/3 LH?
Потому что \( \frac{2}{3} \) — это площадь параболического сегмента, а не любого куска под параболой. Здесь:
- \(L\) — длина основания (хорды),
- \(H\) — наибольшая высота от этой хорды до параболы.
Сравнивать удобнее не с прямоугольником, а с вписанным треугольником.
1. Вписанный треугольник
Треугольник с основанием \(L\) и высотой \(H\) имеет площадь \[ T=\frac12 LH. \]
2. Свойство параболы
Площадь параболического сегмента равна \[ S=\frac43 T. \] Это свойство открыл Архимед. Почему именно \( \frac43 \)? Если последовательно вписывать в сегмент треугольники, то на каждом следующем уровне их суммарная площадь составляет \( \frac14 \) от предыдущей:
\[ T,\quad \frac{T}{4},\quad \frac{T}{16},\quad \frac{T}{64},\ldots \]
Поэтому \[ S=T+\frac{T}{4}+\frac{T}{16}+\cdots =T\left(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\right) =\frac{T}{1-\frac14} =\frac43T. \]
3. Подставляем \(T\)
\[ S=\frac43\cdot\frac12 LH =\frac{2}{3}LH. \]
Проверка: площадь \( \frac23 LH \) больше площади треугольника \( \frac12 LH \), но меньше площади прямоугольника \( LH \). Для параболы это как раз и есть правильная доля — \( \frac23 \) прямоугольника.
