Реши это без интегралов, без синусов, без косинусов, без тангенса, если функция в первом значении получилась такой: f(x)=H-4Hx^2/L^2

Краткий ответ: площадь станет равна
\[ S'=16S_0 \] то есть увеличится в 16 раз.

Почему так:

При том же угле броска увеличение начальной скорости в 2 раза увеличивает в 2 раза и горизонтальную, и вертикальную составляющие скорости.

Рассмотрим точку траектории в момент времени \(t\): \[ x=v_x t,\qquad y=v_y t-\frac{gt^2}{2}. \]

Если скорость увеличили в 2 раза, то эта же «стадия» полёта наступит в момент \(2t\). Тогда новые координаты: \[ X=2v_x\cdot 2t=4x, \] \[ Y=2v_y\cdot 2t-\frac{g(2t)^2}{2} =4v_y t-2gt^2 =4\left(v_y t-\frac{gt^2}{2}\right)=4y. \]

Значит, вся траектория растягивается в 4 раза по горизонтали и в 4 раза по вертикали. Поэтому и высота, и дальность полёта увеличиваются в 4 раза: \[ H'=4H,\qquad L'=4L. \]

Площадь при таком растяжении увеличивается в \[ 4\cdot 4=16 \] раз.

Проверка. Площадь под параболой: \[ S_0=\frac{2}{3}LH. \] После увеличения скорости: \[ S'=\frac{2}{3}(4L)(4H)=16\cdot\frac{2}{3}LH=16S_0. \]

\[ \boxed{S'=16S_0} \]