Помоги мне понять многочлены и одночлены
Кратко
Одночлен — это произведение чисел и букв (переменных) в неотрицательных целых степенях: например $7x^2y$, $-3a$, $5$, $0{,}5bc^3$. Никаких «плюсов» и «минусов» между частями, никаких букв в знаменателе.
Многочлен — это сумма (в том числе с вычитанием) нескольких одночленов: например $3x^2 - 5x + 2$. Сами эти одночлены называются членами многочлена.
Что важно уметь различать
| Выражение | Кто это | Почему |
|---|---|---|
| $4xy^2$ | одночлен | только умножение |
| $4x + y^2$ | многочлен | сумма двух одночленов |
| $\dfrac{5}{x}$ | ни то ни другое | переменная в знаменателе |
| $3x - 1$ | многочлен (двучлен) | два члена |
Стандартный вид одночлена
Это когда число стоит первым (это коэффициент), а каждая переменная встречается один раз.
$$2 \cdot x \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y = 10x^3y$$
- коэффициент: $10$;
- степень одночлена — сумма показателей: $3 + 1 = 4$.
Не путай: у $10x^3y$ коэффициент $10$, а степень $4$.
Стандартный вид многочлена и подобные члены
Подобные — те, у которых одинаковая буквенная часть. Складываем их коэффициенты:
$$5x^2 + 3x - 2x^2 + x = (5-2)x^2 + (3+1)x = 3x^2 + 4x$$
Степень многочлена — наибольшая степень его членов после приведения подобных. У $3x^2 + 4x$ степень $2$.
Обрати внимание: $3x^2$ и $3x$ — не подобные: буквенные части разные.
Действия с многочленами
Сложение и вычитание: раскрываем скобки и приводим подобные, следя за знаками:
$$(3a - 4) - (a - 7) = 3a - 4 - a + 7 = 2a + 3$$
Умножение на одночлен — распределительный закон, умножаем каждый член:
$$2x(3x - 5) = 6x^2 - 10x$$
Умножение двух многочленов — каждый член первого на каждый член второго:
$$(2x + 3)(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$$
При умножении степеней одной буквы показатели складываются: $2x \cdot x = 2x^2$.
Проверка результата
Подставь в исходное и в полученное выражение одно и то же число. Для примера выше возьмём $x = 1$:
$$(2 \cdot 1 + 3)(1 - 4) = 5 \cdot (-3) = -15$$
$$2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 - 12 = 2 - 5 - 12 = -15$$
Совпало — преобразование верное. Такой проверкой удобно ловить ошибки со знаками.
Главный принцип: одночлен — это «кирпичик» (только умножение), многочлен — «кладка» из таких кирпичиков, соединённых плюсами и минусами. Почти все задания сводятся к двум действиям: привести каждый кирпичик к стандартному виду и сложить одинаковые кирпичики.
