Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ AC=5 \]

Решение через теорему косинусов

Для стороны \(AC\), лежащей против угла \(B\), теорема косинусов имеет вид: \[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B \]

Подставляем данные: \[ AB=\sqrt{10},\qquad BC=3\sqrt5,\qquad \angle B=45^\circ \] \[ \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2} \]

Тогда: \[ AC^2=(\sqrt{10})^2+(3\sqrt5)^2- 2\cdot\sqrt{10}\cdot3\sqrt5\cdot\frac{\sqrt2}{2} \]

Считаем: \[ (\sqrt{10})^2=10 \] \[ (3\sqrt5)^2=9\cdot5=45 \] \[ 2\cdot\sqrt{10}\cdot3\sqrt5\cdot\frac{\sqrt2}{2} =3\sqrt{10\cdot5\cdot2} =3\sqrt{100}=30 \]

Значит: \[ AC^2=10+45-30=25 \] \[ AC=5 \]

Проверка:
Квадрат стороны получился \(25\), корень из \(25\) равен \(5\). Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому берём только \(5\).

Принцип: если известны две стороны треугольника и угол между ними, противоположную сторону находят по теореме косинусов.