Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ \boxed{k=-9;\quad k=-\frac{11}{4};\quad k=0} \] то есть \(k=-9;\ -2{,}75;\ 0\).
Если в вашем условии параметр назван \(a\), то \(a\) принимает те же значения.

1. Область определения

\[ y=\frac{3x^2+7x+2}{x^2+2x} \]

Знаменатель не равен нулю:

\[ x^2+2x=x(x+2)\ne0 \Rightarrow x\ne0,\ x\ne-2. \]

2. Упрощаем формулу

\[ 3x^2+7x+2=(3x+1)(x+2), \] поэтому при \(x\ne -2\)

\[ y=\frac{(3x+1)(x+2)}{x(x+2)} =\frac{3x+1}{x} =3+\frac1x. \]

Значит, график — гипербола \(y=3+\frac1x\), но точка с \(x=-2\) выколота:

\[ y(-2)=3-\frac12=\frac52. \]

То есть выколотая точка:

\[ (-2;\ 2{,}5). \]

3. Пересечение с прямой \(y=kx-3\)

Нужно решить:

\[ 3+\frac1x=kx-3, \] \[ kx^2-6x-1=0. \]

При этом \(x\ne0\) и \(x\ne-2\).

• Если \(k=0\), получаем: \[ -6x-1=0 \Rightarrow x=-\frac16. \] Одна точка — подходит.

• Если \(k\ne0\), ищем особые случаи.

Дискриминант:

\[ D=36+4k=4(k+9). \]

Касание: \(D=0\), значит

\[ k=-9. \]

Тогда одна точка пересечения.

Ещё возможен случай, когда одно из двух решений равно \(x=-2\), но эта точка выколота. Подставляем \(x=-2\):

\[ k(-2)^2-6(-2)-1=0, \] \[ 4k+12-1=0, \] \[ k=-\frac{11}{4}. \]

Тогда второе решение:

\[ x=-\frac{2}{11}, \]

и оно даёт единственную настоящую общую точку.

Проверка

• При \(k=-9\): касание в точке \(\left(-\frac13;0\right)\).
• При \(k=0\): пересечение в точке \(\left(-\frac16;-3\right)\).
• При \(k=-\frac{11}{4}\): прямая проходит через выколотую точку \((-2;2{,}5)\), но остаётся ещё ровно одна точка пересечения с графиком.

Ответ:
\[ \boxed{k\in\left\{-9;\ -\frac{11}{4};\ 0\right\}} \]