Реши задание на изображении

Кратко. Обозначим \(\angle BAM=\angle MAC=\alpha\). Из \(BM=MK\) следует, что \(\triangle BMK\) равнобедренный, и это позволяет получить \(\angle ACB=\alpha\). Тогда у треугольников \(ABK\) и \(AMC\) окажутся по два равных угла, значит, они подобны.

Доказательство

Пусть \[ \angle BAM=\angle MAC=\alpha, \] так как \(AM\) — биссектриса. Точка \(K\) лежит на прямой \(AM\), поэтому \[ \angle BAK=\alpha. \]

Так как \(BK\parallel AC\), то угол между \(KA\) и \(KB\) равен углу между \(MA\) и \(CA\): \[ \angle BKA=\angle MAC=\alpha. \]

Далее используем условие \(BM=MK\). В треугольнике \(BMK\) равны стороны \(BM\) и \(MK\), поэтому равны углы при основании \(BK\): \[ \angle MBK=\angle BKM. \] Но \(\angle BKM=\angle BKA=\alpha\), значит, \[ \angle MBK=\alpha. \] Тогда \[ \angle BMK=180^\circ-2\alpha. \]

Точки \(A,M,K\) лежат на одной прямой, поэтому \[ \angle AMB=180^\circ-\angle BMK=2\alpha. \] В треугольнике \(ABM\): \[ \angle ABM=180^\circ-\alpha-2\alpha=180^\circ-3\alpha. \] Поскольку \(B,M,C\) лежат на одной прямой, \[ \angle ABC=180^\circ-3\alpha. \]

Теперь в треугольнике \(ABC\): \[ \angle BAC=2\alpha, \] поэтому \[ \angle ACB =180^\circ-2\alpha-(180^\circ-3\alpha) =\alpha. \] Следовательно, \[ \angle ACM=\alpha. \]

Сравниваем треугольники \(ABK\) и \(AMC\):

• \(\angle BAK=\angle MAC=\alpha\);
• \(\angle BKA=\angle ACM=\alpha\).

Значит, треугольники подобны по двум углам: \[ \triangle ABK\sim\triangle AMC. \]

Соответствие вершин: \(A\leftrightarrow A\), \(B\leftrightarrow M\), \(K\leftrightarrow C\).