Реши задание на изображении

Ответ: 13.

Пусть \(r\) — радиус меньшей окружности, \(R\) — большей, \(O\) — центр большей, \(o\) — центр меньшей.

1. Длина меньшей окружности: \[ 2\pi r=26 \quad\Rightarrow\quad \pi r=13. \]

2. Окружности касаются внутренним образом, поэтому \[ R-r=Oo. \] По условию расстояние между центрами равно диаметру меньшей окружности: \[ Oo=2r. \] Значит, \[ R-r=2r \quad\Rightarrow\quad R=3r. \]

3. Пусть \(T\) — точка касания прямой, проведённой из \(O\), с меньшей окружностью. Тогда \(oT\perp OT\), и в прямоугольном треугольнике \(OoT\): \[ \sin \angle TOo=\frac{oT}{Oo}=\frac{r}{2r}=\frac12. \] Следовательно, \[ \angle TOo=30^\circ. \] Две касательные симметричны, значит, \[ \angle AOB=2\cdot30^\circ=60^\circ=\frac{\pi}{3}. \]

4. Точка \(C\) лежит на линии центров, поэтому дуга \(ACB\) — это дуга в \(60^\circ\). Её длина: \[ l=R\cdot\frac{\pi}{3}=3r\cdot\frac{\pi}{3}=\pi r. \] Так как \(\pi r=13\), то \[ l=13. \]

Проверка: большая окружность имеет длину \(2\pi R=6\pi r=78\), а дуга \(60^\circ\) составляет \(\frac16\) окружности: \(78:6=13\).