Реши задание на изображении
№ 5. Разбиение на команды — ответ: 3432 способа
Краткий ответ: $\binom{14}{7} = 3432$.
Как рассуждаем:
- Всего 20 человек, две команды по 10 человек.
- Шестерых сильнейших учитель распределяет сам — по 3 в каждую команду («уравновесить силы»). Эти места уже заняты, выбирать не из чего, поэтому они в подсчёт не входят.
- Значит, в первой команде до полного состава не хватает $10 - 3 = 7$ человек.
- Свободных учеников осталось $20 - 6 = 14$. Из них и берём 7 человек — порядок внутри команды не важен, поэтому это сочетания:
$$C_{14}^{7}=\frac{14!}{7!\cdot 7!}=\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}=3432.$$
Проверка: $C_{14}^{7}$ — самое большое число в 14-й строке треугольника Паскаля, оно считается стандартным: $C_{14}^{6}=3003$, $C_{14}^{7}=3432$, $C_{14}^{8}=3003$ — симметрия сходится. ✔
Принцип для похожих задач: сначала «убираем» те места, которые уже заняты по условию, и считаем только свободные; если порядок не важен — сочетания $C_n^k$, если важен (капитаны, места в шеренге) — размещения $A_n^k$.
№ 4. Треугольник Паскаля — нужно фото
На снимке виден только текст задания, а сам фрагмент треугольника не прорисовался (ниже текста пустая область — картинка не загрузилась). Угадывать число не буду: в треугольнике Паскаля пропуск может стоять на разных местах, и ответы получаются разные.
Пришли, пожалуйста, скриншот, где видно сам треугольник с пустой клеткой. Тогда решу сразу — напомню правило: каждое число равно сумме двух чисел над ним (а по краям всегда 1).
