Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).

Как решать такие уравнения

Общий вид: \(ax^2 + bx + c = 0\). Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).

Способ 1. Через дискриминант (универсальный)

1. Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\).
2. Знак \(D\) говорит о числе корней: \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет. У нас \(D = 1 > 0\), значит, корня два.
3. Формула корней: \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm 1}{2}\).
   • \(x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2\),
   • \(x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3\).

Способ 2. По теореме Виета (быстрее, когда \(a = 1\))

Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\):

\[x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.\]

У нас \(p = -5\), \(q = 6\), то есть сумма корней равна \(5\), а произведение — \(6\). Подбираем: \(2 + 3 = 5\) и \(2 \cdot 3 = 6\). Значит, корни \(2\) и \(3\).

Проверка

Подставим \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\) ✔ Подставим \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\) ✔

Главный принцип

Любое квадратное уравнение решается одним и тем же алгоритмом: привести к виду \(ax^2 + bx + c = 0\) → найти \(D\) → по знаку \(D\) понять число корней → подставить в формулу. Теорема Виета — это shortcut для случая \(a = 1\), когда корни целые и легко подбираются. Если подбор не идёт за несколько секунд, сразу считай дискриминант.