Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3
\]
Как решить:
Ищем два числа, у которых:
- произведение равно \(6\);
- сумма равна \(5\).
Это числа \(2\) и \(3\), потому что: \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5 \]
Раскладываем квадратный трёхчлен на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Проверим раскрытием скобок: \[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
- Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \] Значит: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Принцип: для уравнения вида
\[
x^2-px+q=0
\]
с целыми корнями удобно искать два числа, сумма которых равна \(p\), а произведение равно \(q\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос. Давай разберём именно этот момент.
Мы хотим представить выражение
\[ x^2-5x+6 \]
в виде произведения двух скобок. Пусть это будут скобки с неизвестными числами \(a\) и \(b\):
\[ (x+a)(x+b) \]
Почему именно \(x\) в каждой скобке? Потому что при раскрытии скобок должно получиться \(x^2\), а \(x^2\) получается только из \(x\cdot x\). То есть \(x\) — это та же самая переменная из исходного уравнения, мы её не придумываем заново.
Теперь раскроем скобки:
\[ (x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab=x^2+(a+b)x+ab \]
Сравним с исходным выражением:
\[ x^2-5x+6 \]
Получается, что числа \(a\) и \(b\) должны удовлетворять двум условиям:
\[ a+b=-5 \] \[ ab=6 \]
Подбираем такие числа: это \(-2\) и \(-3\), потому что
\[ (-2)+(-3)=-5, \qquad (-2)\cdot(-3)=6 \]
Значит,
\[ a=-2,\quad b=-3 \]
и выражение раскладывается так:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Вот откуда взялись скобки \((x-2)\) и \((x-3)\): это просто \((x+a)\) и \((x+b)\) при найденных \(a\) и \(b\).
Можно проверить обратно:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Всё сходится.
Коротко: \(x\) в скобках — это исходная переменная. Мы ищем разложение \((x+a)(x+b)\), раскрываем скобки и подбираем \(a\) и \(b\) так, чтобы получить коэффициенты исходного выражения.
