Реши задание на изображении
Решение задания про четырёхугольник \(MKNP\) (рис. 2).
Краткий ответ: \(MKNP\) — квадрат.
Доказательство
По рисунку точки лежат на сторонах так: \[ A\in NP,\quad B\in PM,\quad C\in MK,\quad D\in KN. \]
Рассмотрим, например, вершину \(B\) прямоугольника \(ABCD\). Сторона \(PM\) — прямая, а \(\angle ABC=90^\circ\). По условию два отмеченных угла при \(B\) равны. Пусть каждый из них равен \(\alpha\). Тогда \[ \alpha+90^\circ+\alpha=180^\circ, \] откуда \[ \alpha=45^\circ. \] Аналогично при остальных вершинах прямоугольника получаем углы по \(45^\circ\).
Значит, треугольники по углам \(MBC\), \(KCD\), \(NDA\), \(PAB\) — прямоугольные равнобедренные. Например, в \(\triangle MBC\): \[ \angle MBC=\angle MCB=45^\circ, \] поэтому \[ \angle BMC=90^\circ,\qquad MB=MC. \] Так же: \[ KC=KD,\qquad ND=NA,\qquad PA=PB. \]
Стороны \(MP\) и \(MK\) проходят соответственно через \(B\) и \(C\), поэтому \[ \angle PMK=\angle BMC=90^\circ. \] Аналогично остальные углы четырёхугольника \(MKNP\) прямые. Значит, \(MKNP\) — прямоугольник.
Осталось доказать равенство соседних сторон. Пусть \[ AB=CD=a,\qquad BC=AD=b. \] В прямоугольных равнобедренных треугольниках: \[ PB=PA=\frac{a}{\sqrt2},\quad BM=CM=\frac{b}{\sqrt2},\quad CK=DK=\frac{a}{\sqrt2}. \] Тогда \[ PM=PB+BM=\frac{a+b}{\sqrt2}, \] \[ MK=MC+CK=\frac{b+a}{\sqrt2}. \] Значит, \[ PM=MK. \] У прямоугольника с равными соседними сторонами все стороны равны, то есть это квадрат.
\[ \boxed{MKNP\ \text{— квадрат}} \]
