Реши задание на изображении

Кратко: уравнение
\[ 48x^2+64y^2=3072 \] задаёт эллипс: \[ \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1. \] Его большая полуось \(a=8\), малая \(b=4\sqrt3\), фокусы \((\pm4;0)\), эксцентриситет \(e=\frac12\).

Как это получить

1. Разделим обе части на \(3072\): \[ \frac{48x^2}{3072}+\frac{64y^2}{3072}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1. \]

2. Сравниваем с каноническим уравнением эллипса: \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. \] Значит, \[ a^2=64,\qquad b^2=48. \] То есть \[ a=8,\qquad b=\sqrt{48}=4\sqrt3. \] Больший знаменатель стоит под \(x^2\), поэтому эллипс вытянут вдоль оси \(Ox\).

3. Для эллипса \[ c^2=a^2-b^2=64-48=16, \] поэтому \[ c=4. \] Фокусы расположены на большой оси: \[ F_1(-4;0),\qquad F_2(4;0). \]

4. Эксцентриситет: \[ e=\frac{c}{a}=\frac{4}{8}=\frac12. \]

Дополнительно

Вершины эллипса: \[ (\pm8;0),\qquad (0;\pm4\sqrt3). \] Директрисы: \[ x=\pm\frac{a}{e}=\pm16. \]

Проверка: при \(x=8,\ y=0\): \[ 48\cdot 64+64\cdot0=3072, \] то есть точка \((8;0)\) действительно лежит на эллипсе.

Главное для похожих заданий: сначала приведи уравнение к виду \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), затем найди \(a,b\), а для эллипса используй \(c^2=a^2-b^2\) и \(e=\frac ca\).