🔥 ОГОНЬ! РАУНД №4 ОБЪЯВЛЯЕТСЯ ОТКРЫТЫМ! Это самый сложный раунд на данный момент. Здесь уже недостаточно просто угадать правильный ответ. Участники должны продемонстрировать…
🔥 ОГОНЬ! РАУНД №4 ОБЪЯВЛЯЕТСЯ ОТКРЫТЫМ! Это самый сложный раунд на данный момент. Здесь уже недостаточно просто угадать правильный ответ. Участники должны продемонстрировать математическую строгость, глубокое понимание формул и умение доказывать свои выводы. ### РАУНД IV ### Экспертный уровень Количество заданий 8 Максимум 8 баллов Требования Полные доказательства Главное правило: ответ без подробного обоснования не получает полный балл. ### Экзаменационный лист ### 1\. Алгебра — уравнение с радикалами Решите уравнение: \\sqrt{x^2-6x+9}+ \\sqrt{x^2-10x+25}=8 Требуется: * определить ОДЗ; * преобразовать выражения; * разобрать все возможные случаи; * проверить найденные корни. ### 2\. Алгебра — симметрическая система Решите систему: \\begin{cases} x+y=7\\\\ x^3+y^3=133 \\end{cases} Требуется вывести значения и , объяснить использование формулы суммы кубов и проверить результат. ### 3\. Теория чисел — целочисленные решения Найдите все пары положительных целых чисел , удовлетворяющие условию: x^2-y^2=2025 Требуется: * разложить выражение на множители; * найти все допустимые пары множителей; * доказать, что других решений нет; * перечислить все пары . ### 4\. Геометрия — треугольник 13–14–15 Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найдите: * Площадь по формуле Герона. * Радиус вписанной окружности. * Радиус описанной окружности. * Длину медианы, проведённой к стороне 15 см. Все формулы и вычисления необходимо обосновать. ### 5\. Геометрия — прямоугольный треугольник Дан прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см. Найдите: * Гипотенузу. * Площадь и периметр. * Радиус вписанной окружности. * Радиус описанной окружности. * Расстояние между центром вписанной и центром описанной окружностей. Последний пункт требует отдельного обоснования. ### 6\. Физика — динамика и работа Тело массой 3 кг движется по горизонтальной поверхности. На него действует горизонтальная сила 20 Н. Сила трения равна 5 Н и направлена противоположно движению. Начальная скорость равна нулю. Время движения — 4 секунды. Найдите: * равнодействующую силу; * ускорение; * конечную скорость; * пройденный путь; * работу приложенной силы; * работу силы трения; * работу равнодействующей силы. Считайте силы постоянными. ### 7\. Электричество — параллельное соединение Два резистора сопротивлением 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к источнику напряжения 12 В. Время работы цепи — 10 минут. Найдите: * общее сопротивление; * общий ток; * ток через каждый резистор; * общую мощность; * электрическую энергию, потреблённую цепью. Объясните, почему токи в ветвях различаются. ### 8\. Химия — ограничивающий реагент Дана реакция: 2H_2+O_2\\rightarrow2H_2O Имеются: * 4 моль водорода; * 1,5 моль кислорода. Определите: * Какое вещество является ограничивающим реагентом. * Сколько молей воды образуется. * Сколько молей водорода останется. * Массу полученной воды. Молярная масса воды — 18 г/моль. ### Требования к участникам Gemini и DeepSeek получают совершенно одинаковые задания. * Никаких пропущенных вычислений. * Никаких выдуманных исходных данных. * Каждая формула должна быть объяснена. * В геометрии обязательны обоснования. * В физике обязательны единицы измерения. * В химии обязательны коэффициенты реакции и расчёты по ним. Моя роль — независимый экзаменатор. Я не подсказываю участникам во время экзамена. После проверки обоих выставлю баллы и школьные оценки. 🔥 Пусть начнётся самый серьёзный экзамен!
\(\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{(x-5)^2}=8\Rightarrow |x-3|+|x-5|=8\).
Случаи: \(x<3\Rightarrow 8-2x=8\Rightarrow x=0\); \(3\le x\le5\Rightarrow2=8\) — нет; \(x>5\Rightarrow2x-8=8\Rightarrow x=8\).
Ответ: \(x=0;\ 8\).\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\).
\(343-21xy=133\Rightarrow xy=10\). Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-7t+10=0\): \(2;5\).
Ответ: \((2;5),(5;2)\).\((x-y)(x+y)=2025\), \(2025=3^4\cdot5^2\).
Пары \((x-y,x+y)\): \((1,2025),(3,675),(5,405),(9,225),(15,135),(25,81),(27,75)\); \((45,45)\) даёт \(y=0\), не подходит.
Ответ:
\[ (1013,1012),(339,336),(205,200),(117,108), (75,60),(53,28),(51,24). \]\(s=\frac{13+14+15}{2}=21\).
\(S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\text{ см}^2\).
\(r=\frac{S}{s}=4\text{ см}\).
\(R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{455}{56}\text{ см}\).
\(m_{15}=\frac12\sqrt{2\cdot13^2+2\cdot14^2-15^2}=\frac{\sqrt{505}}2\text{ см}\).
Ответ: \(S=84\text{ см}^2;\ r=4\text{ см};\ R=\frac{455}{56}\text{ см};\ m_{15}=\frac{\sqrt{505}}2\text{ см}\).\(c=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ см}\).
\(S=\frac{9\cdot12}{2}=54\text{ см}^2\), \(P=9+12+15=36\text{ см}\).
\(r=\frac{9+12-15}{2}=3\text{ см}\), \(R=\frac{15}{2}=7{,}5\text{ см}\).
По формуле Эйлера \(OI^2=R^2-2Rr\): \[ OI^2=\left(\frac{15}{2}\right)^2-2\cdot\frac{15}{2}\cdot3=\frac{45}{4}, \quad OI=\frac{3\sqrt5}{2}\text{ см}. \] Ответ: \(c=15\text{ см};\ S=54\text{ см}^2;\ P=36\text{ см};\ r=3\text{ см};\ R=7{,}5\text{ см};\ OI=\frac{3\sqrt5}{2}\text{ см}\).\(F_{\text{рез}}=20-5=15\text{ Н}\).
\(a=\frac{15}{3}=5\text{ м/с}^2\).
\(v=at=5\cdot4=20\text{ м/с}\).
\(s=\frac{at^2}{2}=\frac{5\cdot16}{2}=40\text{ м}\).
\(A_{20}=20\cdot40=800\text{ Дж}\).
\(A_{\text{тр}}=-5\cdot40=-200\text{ Дж}\) (модуль \(200\text{ Дж}\)).
\(A_{\text{рез}}=15\cdot40=600\text{ Дж}\).
Ответ: \(15\text{ Н};\ 5\text{ м/с}^2;\ 20\text{ м/с};\ 40\text{ м};\ 800\text{ Дж};\ -200\text{ Дж};\ 600\text{ Дж}\).\(R=\frac{6\cdot3}{6+3}=2\text{ Ом}\).
\(I=\frac{12}{2}=6\text{ А}\).
\(I_6=\frac{12}{6}=2\text{ А}\), \(I_3=\frac{12}{3}=4\text{ А}\).
\(P=12\cdot6=72\text{ Вт}\).
\(t=10\text{ мин}=600\text{ с}\), \(W=Pt=72\cdot600=43200\text{ Дж}=43{,}2\text{ кДж}\).
Токи разные, так как напряжение одинаково, а \(I=\frac{U}{R}\): через меньшее сопротивление \(3\text{ Ом}\) идёт больший ток.
Ответ: \(2\text{ Ом};\ 6\text{ А};\ 2\text{ А и }4\text{ А};\ 72\text{ Вт};\ 43200\text{ Дж}\).По уравнению \(2H_2+O_2\to2H_2O\):
на \(1{,}5\) моль \(O_2\) нужно \(3\) моль \(H_2\), значит \(O_2\) — ограничивающий реагент.
Образуется \(3\) моль \(H_2O\); останется \(4-3=1\) моль \(H_2\).
\(m(H_2O)=3\cdot18=54\text{ г}\).
Ответ: ограничивающий — \(O_2\); \(3\) моль воды; \(1\) моль \(H_2\); \(54\text{ г}\).
Обсуждение
1 сообщение🔥 РАУНД №5 — ЭКСПЕРТНЫЙ ЭТАП Сложность повышается. В этот раз будут задачи на доказательства, нестандартные преобразования, пространственную геометрию и физические расчёты. ### ROUND V ### Продвинутый экспертный уровень * 8 заданий. * 1 балл за каждое. * Максимум — 8 баллов. * Полное решение обязательно. * Одинаковые условия для Gemini и DeepSeek. ### 1\. Алгебра — рациональное уравнение Решите: \\frac{x^2-9}{x-3}=x+3 с учётом ОДЗ. Объясните, почему нельзя просто сократить выражение и забыть об ограничении. ### 2\. Алгебра — параметр При каких значениях параметра уравнение x^2-2ax+a^2-9=0 имеет два различных действительных корня? Найдите также сами корни через . ### 3\. Теория чисел — делимость Докажите, что для любого целого числа n^3-n делится на 6. Нужно доказательство, а не проверка нескольких чисел. ### 4\. Геометрия — окружность Хорда окружности длиной 16 см находится на расстоянии 6 см от центра. Найдите: * радиус окружности; * площадь круга; * длину окружности. Обоснуйте построение прямоугольного треугольника. ### 5\. Геометрия — пространственная задача Прямоугольный параллелепипед имеет размеры 3 см, 4 см и 12 см. Найдите: * объём; * площадь полной поверхности; * длину пространственной диагонали; * площадь диагонального сечения, проходящего через диагональ основания и параллельного боковым рёбрам. ### 6\. Физика — закон сохранения энергии Тело массой 2 кг падает без начальной скорости с высоты 20 м. Сопротивлением воздуха пренебречь, . Найдите: * начальную потенциальную энергию; * кинетическую энергию непосредственно перед землёй; * конечную скорость; * скорость тела на высоте 5 м над землёй. Покажите применение закона сохранения механической энергии. ### 7\. Электричество — последовательное соединение Три резистора сопротивлениями 2 Ом, 4 Ом и 6 Ом соединены последовательно и подключены к источнику напряжения 24 В. Найдите: * общее сопротивление; * силу тока; * напряжение на каждом резисторе; * общую мощность; * энергию за 5 минут. ### 8\. Химия — расчёт по уравнению реакции Дана реакция: CaCO_3 \\rightarrow CaO+CO_2 При разложении 250 г карбоната кальция образуется оксид кальция и углекислый газ. Молярные массы: * ; * ; * . Найдите: * Количество вещества . * Массу . * Массу . * Объясните, почему сумма масс продуктов равна массе исходного вещества. Экзамен открыт. Жду сначала работу Gemini, затем DeepSeek. Решения проверю независимо, без поблажек обоим участникам.
