🔥 РАУНД №5 — ЭКСПЕРТНЫЙ ЭТАП Сложность повышается. В этот раз будут задачи на доказательства, нестандартные преобразования, пространственную геометрию и физические расчёты. ###…
🔥 РАУНД №5 — ЭКСПЕРТНЫЙ ЭТАП Сложность повышается. В этот раз будут задачи на доказательства, нестандартные преобразования, пространственную геометрию и физические расчёты. ### ROUND V ### Продвинутый экспертный уровень * 8 заданий. * 1 балл за каждое. * Максимум — 8 баллов. * Полное решение обязательно. * Одинаковые условия для Gemini и DeepSeek. ### 1\. Алгебра — рациональное уравнение Решите: \\frac{x^2-9}{x-3}=x+3 с учётом ОДЗ. Объясните, почему нельзя просто сократить выражение и забыть об ограничении. ### 2\. Алгебра — параметр При каких значениях параметра уравнение x^2-2ax+a^2-9=0 имеет два различных действительных корня? Найдите также сами корни через . ### 3\. Теория чисел — делимость Докажите, что для любого целого числа n^3-n делится на 6. Нужно доказательство, а не проверка нескольких чисел. ### 4\. Геометрия — окружность Хорда окружности длиной 16 см находится на расстоянии 6 см от центра. Найдите: * радиус окружности; * площадь круга; * длину окружности. Обоснуйте построение прямоугольного треугольника. ### 5\. Геометрия — пространственная задача Прямоугольный параллелепипед имеет размеры 3 см, 4 см и 12 см. Найдите: * объём; * площадь полной поверхности; * длину пространственной диагонали; * площадь диагонального сечения, проходящего через диагональ основания и параллельного боковым рёбрам. ### 6\. Физика — закон сохранения энергии Тело массой 2 кг падает без начальной скорости с высоты 20 м. Сопротивлением воздуха пренебречь, . Найдите: * начальную потенциальную энергию; * кинетическую энергию непосредственно перед землёй; * конечную скорость; * скорость тела на высоте 5 м над землёй. Покажите применение закона сохранения механической энергии. ### 7\. Электричество — последовательное соединение Три резистора сопротивлениями 2 Ом, 4 Ом и 6 Ом соединены последовательно и подключены к источнику напряжения 24 В. Найдите: * общее сопротивление; * силу тока; * напряжение на каждом резисторе; * общую мощность; * энергию за 5 минут. ### 8\. Химия — расчёт по уравнению реакции Дана реакция: CaCO_3 \\rightarrow CaO+CO_2 При разложении 250 г карбоната кальция образуется оксид кальция и углекислый газ. Молярные массы: * ; * ; * . Найдите: * Количество вещества . * Массу . * Массу . * Объясните, почему сумма масс продуктов равна массе исходного вещества. Экзамен открыт. Жду сначала работу Gemini, затем DeepSeek. Решения проверю независимо, без поблажек обоим участникам.
В пп. 6 и 8 не отобразились \(g\) и молярные массы. Беру стандартные:
\(g=10\ \text{м/с}^2\), \(M(\mathrm{CaCO_3})=100\), \(M(\mathrm{CaO})=56\), \(M(\mathrm{CO_2})=44\ \text{г/моль}\).
\(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\), \(x\ne3\).
\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \] при \(x\ne3\) получаем тождество.
Ответ: \(x\in\mathbb R\setminus\{3\}\).
Нельзя сокращать без ОДЗ: при \(x=3\) исходная дробь не определена.\[ D=(-2a)^2-4(a^2-9)=36>0 \] при любом \(a\).
Ответ: два различных корня при любом \(a\in\mathbb R\): \[ x_{1,2}=a\pm3. \]\[ n^3-n=n(n-1)(n+1) \] — произведение трёх последовательных целых чисел. Среди них есть чётное число и число, кратное \(3\). Так как \(\gcd(2,3)=1\), произведение делится на \(6\). Ч.т.д.
Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: \[ AM=8,\quad OM=6,\quad OA=r. \] \[ r=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \text{см}. \] \[ S=\pi r^2=100\pi\ \text{см}^2,\qquad C=2\pi r=20\pi\ \text{см}. \]
\[ V=3\cdot4\cdot12=144\ \text{см}^3. \] \[ S_{\text{полн}}=2(3\cdot4+3\cdot12+4\cdot12)=192\ \text{см}^2. \] \[ d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13\ \text{см}. \] Диагональ основания \(3\times4\): \[ \sqrt{3^2+4^2}=5. \] Площадь диагонального сечения: \[ S_{\text{сеч}}=5\cdot12=60\ \text{см}^2. \]
\[ E_p=mgh=2\cdot10\cdot20=400\ \text{Дж}. \] Перед землёй: \[ E_k=400\ \text{Дж},\qquad v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot20}=20\ \text{м/с}. \] На высоте \(5\) м: \[ E_p=2\cdot10\cdot5=100\ \text{Дж}, \] \[ E_k=400-100=300\ \text{Дж}, \] \[ v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}} =\sqrt{\frac{2\cdot300}{2}} =\sqrt{300}=10\sqrt3\approx17{,}3\ \text{м/с}. \]
\[ R=2+4+6=12\ \text{Ом},\qquad I=\frac{24}{12}=2\ \text{А}. \] Напряжения: \[ U_1=2\cdot2=4\ \text{В},\quad U_2=2\cdot4=8\ \text{В},\quad U_3=2\cdot6=12\ \text{В}. \] \[ P=UI=24\cdot2=48\ \text{Вт}. \] За \(5\) мин \(=300\) с: \[ W=Pt=48\cdot300=14400\ \text{Дж}=14{,}4\ \text{кДж}. \]
\[ n(\mathrm{CaCO_3})=\frac{250}{100}=2{,}5\ \text{моль}. \] По уравнению \(1:1:1\): \[ n(\mathrm{CaO})=n(\mathrm{CO_2})=2{,}5\ \text{моль}. \] \[ m(\mathrm{CaO})=2{,}5\cdot56=140\ \text{г}. \] \[ m(\mathrm{CO_2})=2{,}5\cdot44=110\ \text{г}. \] Проверка: \[ 140+110=250\ \text{г}. \] Сумма масс продуктов равна массе исходного вещества по закону сохранения массы: атомы только перегруппировываются, их общее число и суммарная масса не меняются.
