Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1 = 2,\; x_2 = 3\).

Как к этому прийти

Шаг 1. Разложить на множители. Ищем запись вида \[ x^2-5x+6=(x-a)(x-b). \] Если раскрыть скобки: \((x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab\). Сравниваем с нашим уравнением и получаем два условия: \[ a+b=5,\qquad a\cdot b=6. \] То есть нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6.

Шаг 2. Найти эти числа. Произведение равно 6 — значит, числа надо искать среди делителей шести: \(1,2,3,6\). Проверяем пары:

• \(1\) и \(6\): сумма \(7\) — не подходит;
• \(2\) и \(3\): сумма \(5\) — подходит.

Шаг 3. Записать решение. \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2, \qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3. \]

Проверка

Подставляем корни в исходное уравнение:

• \(x=2:\; 4-10+6=0\) ✓
• \(x=3:\; 9-15+6=0\) ✓

Оба корня подходят.

Принцип, который стоит запомнить

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) (коэффициент при \(x^2\) равен 1) работает теорема Виета: \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q. \] У нас \(p=-5,\ q=6\), поэтому сумма корней \(5\), произведение \(6\) — это сразу наводит на \(2\) и \(3\). Такой подбор быстро работает, когда корни целые; если целых чисел не находится, выручает дискриминант \(D=p^2-4q\) с формулой \(x=\dfrac{-p\pm\sqrt{D}}{2}\).