Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (быстрый).

Ищем два числа, у которых:

• произведение равно свободному члену: \(2\cdot 3 = 6\);
• сумма равна коэффициенту при \(x\) с противоположным знаком: \(2+3=5\).

Такие числа — 2 и 3. Значит:

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3.\]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный).

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\] \[x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\] \[x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2.\]

Проверка (теорема Виета)

\[x_1+x_2=2+3=5=-b, \qquad x_1\cdot x_2=2\cdot 3=6=c\]

Оба условия Виета выполняются, значит корни найдены верно.

Принцип, который стоит запомнить

1. Если уравнение приведённое (\(a=1\)) и корни целые, их проще всего угадать по Виету: сумма корней равна \(-b\), произведение равно \(c\).
2. Если угадать не удаётся (корни дробные или уравнение не разлагается), всегда работает дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
3. В конце подставляй корни в исходное уравнение — это ловит ошибку со знаками.