Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\) (уравнение имеет два корня).

Как это получается

Шаг 1. Разложим на множители. Заметим, что левую часть можно записать так:

\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\]

Проверим раскрытием скобок:

\[(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\]

— совпало.

Шаг 2. Как угадать числа 2 и 3. Свободный член равен \(6\), а коэффициент при \(x\) равен \(-5\). Ищем два числа, у которых:

• произведение равно \(6\),
• сумма равна \(5\) (знак минус перед \(5x\) даёт сумму с плюсом: \(2 + 3 = 5\)).

Перебираем пары множителей числа 6:

• \(1\) и \(6\): сумма \(7\) — не подходит;
• \(2\) и \(3\): сумма \(5\) — подходит!

Шаг 3. Произведение равно нулю.

\[(x-2)(x-3) = 0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

• \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
• \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

Проверка

• \(x = 2\): \(\;2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✓
• \(x = 3\): \(\;3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✓

Принцип для похожих заданий

Для уравнения \(x^2 - Sx + P = 0\) (где перед \(x^2\) стоит \(1\)) корни — это два числа, у которых произведение равно \(P\), а сумма равна \(S\). Если \(S\) отрицательное, оба числа отрицательные; если \(P\) отрицательное — числа разных знаков.