Реши задание на изображении
Краткие ответы
№1. Сократить дробь
а) \(\dfrac{14a^4b}{49a^3b^2}=\dfrac{2a}{7b}\)
б) \(\dfrac{3x}{x^2+4x}=\dfrac{3}{x+4}\)
в) \(\dfrac{y^2-z^2}{2y+2z}=\dfrac{y-z}{2}\)
«Представьте в виде дроби»
а) \(\dfrac{42x^5}{y^4}\cdot\dfrac{y^2}{14x^2}=\dfrac{3x^3}{y^2}\)
б) \(\dfrac{63a^3b}{c}:(18a^2b)=\dfrac{7a}{2c}\)
в) \(\dfrac{4a^2-1}{a^2-9}:\dfrac{6a+3}{a+3}=\dfrac{2a-1}{3(a-3)}\)
г) \(\dfrac{p-q}{p}\cdot\left(\dfrac{p}{p-q}+\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p}{q}\)
№2. График \(y=\dfrac{6}{x}\)
Это гипербола. Таблица точек:
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
На координатной плоскости отмечаем эти точки и соединяем плавными линиями. Получаются две ветви: в I и III четвертях. Оси координат — асимптоты: график к ним приближается, но не пересекает.
Как это получается
- Сокращение дроби. Сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители, затем убираем одинаковые множители.
\[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} = \frac{2\cdot7\cdot a^3\cdot a\cdot b} {7\cdot7\cdot a^3\cdot b\cdot b} = \frac{2a}{7b} \]
\[ \frac{3x}{x^2+4x} = \frac{3x}{x(x+4)} = \frac{3}{x+4} \]
Здесь важно: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
\[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} = \frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} = \frac{y-z}{2} \]
Использована формула разности квадратов: \[ y^2-z^2=(y-z)(y+z). \]
- Умножение и деление дробей.
\[ \frac{42x^5}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^2} = \frac{42}{14}\cdot x^{5-2}\cdot y^{2-4} = \frac{3x^3}{y^2} \]
При делении переворачиваем вторую дробь:
\[ \frac{63a^3b}{c}:(18a^2b) = \frac{63a^3b}{c}\cdot\frac{1}{18a^2b} = \frac{7a}{2c} \]
В примере в) раскладываем на множители:
\[ 4a^2-1=(2a-1)(2a+1), \] \[ a^2-9=(a-3)(a+3), \] \[ 6a+3=3(2a+1). \]
Получаем:
\[ \frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3} = \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} = \frac{2a-1}{3(a-3)}. \]
В примере г) сначала упрощаем скобку:
\[ \frac{p}{p-q}+\frac{p}{q} = \frac{pq+p(p-q)}{q(p-q)} = \frac{p^2}{q(p-q)}. \]
Тогда:
\[ \frac{p-q}{p}\cdot\frac{p^2}{q(p-q)} = \frac{p}{q}. \]
- График \(y=\frac6x\).
Берём удобные значения \(x\), считаем \(y\), отмечаем точки и соединяем их плавной линией. Ветви расположены в I и III четвертях, через начало координат график не проходит.
Ограничения: в исходных выражениях знаменатели не равны нулю:
- в верхнем №1: \(a,b\ne0;\ x\ne0,-4;\ y\ne-z\);
- в нижнем блоке: \(x,y\ne0;\ a,b,c\ne0;\ a\ne\pm3,\ a\ne-\frac12;\ p,q\ne0,\ p\ne q\);
- в №2: \(x\ne0\).
Проверка примера г) при \(p=2,\ q=1\): слева получается \(2\), справа тоже \(2\). Всё сходится.
