Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Сократить дробь:

а) \(\displaystyle \frac{14a^4b}{49a^3b^2}=\frac{2a}{7b}\)

б) \(\displaystyle \frac{3x}{x^2+4x}=\frac{3}{x+4}\)

в) \(\displaystyle \frac{y^2-z^2}{2y+2z}=\frac{y-z}{2}\)

2. Представить в виде дроби:

а) \(\displaystyle \frac{42x^3}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^5}=\frac{3}{x^2y^2}\)

б) \(\displaystyle \frac{63a^3b}{c}:(18a^2b)=\frac{7a}{2c}\)

в) \(\displaystyle \frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3}=\frac{2a-1}{3(a-3)}\)

г) \(\displaystyle \frac{p-q}{p}\cdot\left(\frac{p}{p-q}+\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q}\)

Как это получается

Сокращение дробей. Нужно разложить числитель и знаменатель на множители и убрать общие.

а)
\[ \frac{14a^4b}{49a^3b^2} =\frac{14}{49}\cdot\frac{a^4}{a^3}\cdot\frac{b}{b^2} =\frac{2}{7}\cdot a\cdot\frac1b =\frac{2a}{7b}. \]

б)
\[ \frac{3x}{x^2+4x} =\frac{3x}{x(x+4)} =\frac{3}{x+4}. \] Здесь важно сначала вынести \(x\) за скобки, а не сокращать со слагаемым \(4x\).

в) Используем формулу разности квадратов: \[ y^2-z^2=(y-z)(y+z), \] тогда \[ \frac{y^2-z^2}{2y+2z} =\frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)} =\frac{y-z}{2}. \]

Умножение и деление дробей. При делении заменяем деление умножением на обратную дробь.

а)
\[ \frac{42x^3}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^5} =\frac{42}{14}\cdot\frac{x^3}{x^5}\cdot\frac{y^2}{y^4} =3\cdot\frac1{x^2}\cdot\frac1{y^2} =\frac{3}{x^2y^2}. \]

б)
\[ \frac{63a^3b}{c}:(18a^2b) =\frac{63a^3b}{c}\cdot\frac1{18a^2b} =\frac{63}{18}\cdot\frac{a^3}{a^2}\cdot\frac{b}{b}\cdot\frac1c =\frac{7a}{2c}. \]

в) Раскладываем на множители: \[ 4a^2-1=(2a-1)(2a+1), \] \[ a^2-9=(a-3)(a+3), \] \[ 6a+3=3(2a+1). \] Тогда \[ \frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3} = \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} = \frac{2a-1}{3(a-3)}. \]

г) Сначала упростим выражение в скобках: \[ \frac{p}{p-q}+\frac{p}{q} = \frac{pq+p(p-q)}{q(p-q)} = \frac{pq+p^2-pq}{q(p-q)} = \frac{p^2}{q(p-q)}. \] Теперь умножим: \[ \frac{p-q}{p}\cdot\frac{p^2}{q(p-q)} = \frac{p}{q}. \]

3. График функции \(\displaystyle y=\frac6x\)

Это гипербола. Можно построить по точкам:

Ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, потому что \(k=6>0\). Оси координат являются асимптотами: график приближается к ним, но не пересекает. Точка \(x=0\) не входит в область определения.

Проверка: все полученные дроби можно проверить обратным умножением, а точки из таблицы удовлетворяют условию \(xy=6\).