решение, номер 338

№ 338 — на фото видны пункты 1–3.

Кратко:

1. \(x=7\);
2. корней нет;
3. \(x=2\).

Почему так:

Главное правило: \[ \lg A-\lg B=\lg\frac{A}{B}, \] но логарифмы существуют только при \(A>0,\ B>0\). Поэтому после решения обязательно проверяем корни по ОДЗ.

1)
\[ \lg(x-1)-\lg(2x-11)=\lg 2 \] ОДЗ: \(x>1\) и \(2x-11>0\), значит \(x>\frac{11}{2}\).

\[ \lg\frac{x-1}{2x-11}=\lg 2 \] \[ \frac{x-1}{2x-11}=2 \] \[ x-1=4x-22 \] \[ 3x=21,\quad x=7 \] Проверка: \(7>\frac{11}{2}\), оба логарифма определены.
\[ \lg 6-\lg 3=\lg\frac63=\lg2 \] Ответ: \(7\).

2)
\[ \lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg5 \] ОДЗ: \(x>\frac13\).

\[ \lg\frac{3x-1}{x+5}=\lg5 \] \[ \frac{3x-1}{x+5}=5 \] \[ 3x-1=5x+25 \] \[ -2x=26,\quad x=-13 \] Но \(x=-13\) не входит в ОДЗ: \(3x-1<0\). Значит, корень не подходит.

Ответ: корней нет.

3)
\[ \log_3(x^3-x)-\log_3x=\log_3 3 \] ОДЗ: \(x>0\) и \(x^3-x>0\). При \(x>0\) это даёт \(x>1\).

\[ \log_3\frac{x^3-x}{x}=\log_3 3 \] \[ \frac{x^3-x}{x}=3 \] \[ x^2-1=3 \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \] По ОДЗ \(x>1\), поэтому подходит только \(x=2\).

Проверка: \[ \log_3 6-\log_3 2=\log_3 3=1 \] Ответ: \(2\).