реши задачу 23
Краткий ответ
Равные отрезки:
- \(AB=BC\) — боковые стороны равнобедренного треугольника;
- \(AD=DC\) — \(BD\) является медианой, значит \(D\) — середина \(AC\).
Равные углы:
- \(\angle BAC=\angle BCA\) — углы при основании равнобедренного треугольника;
- \(\angle ABD=\angle CBD\) — \(BD\) делит угол при вершине пополам;
- \(\angle ADB=\angle CDB=90^\circ\) — \(BD\) перпендикулярна основанию.
Почему так
Так как \(ABC\) — равнобедренный с основанием \(AC\), то
\[ AB=BC,\qquad \angle A=\angle C. \]\(BD\) — медиана, поэтому
\[ AD=DC. \]Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\): \[ AB=BC,\qquad AD=DC,\qquad BD\ \text{— общая сторона}. \] Значит, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому равны и соответствующие углы: \[ \angle ABD=\angle CBD,\qquad \angle ADB=\angle CDB. \]
Углы \(\angle ADB\) и \(\angle CDB\) смежные и равны, а их сумма \(180^\circ\). Значит, каждый из них равен \(90^\circ\).
Проверка
Обозначим \(\angle A=\angle C=\alpha\), \(\angle ABD=\angle CBD=\beta\). Тогда в треугольнике \(ABD\): \[ \alpha+\beta+90^\circ=180^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ. \] Это согласуется с тем, что в треугольнике \(ABC\): \[ 2\alpha+2\beta=180^\circ. \]
