Сделай пожалуйста номера 2,4,5,9,10,12

Ниже — полные решения. В №4 в исходных данных, судя по всему, опечатка; это отдельно отмечено.

№2

Пусть в треугольнике \(ABC\):

\[ AB=5,\quad BC=7,\quad AC=11. \]

Точки \(M,N,K\) — середины сторон \(AB,BC,CA\). Тогда \(MN,NK,KM\) — средние линии треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна её половине. Поэтому:

\[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{11}{2}=5{,}5\text{ см}, \]

\[ NK=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5\text{ см}, \]

\[ KM=\frac{BC}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5\text{ см}. \]

Ответ: \(2{,}5\) см, \(3{,}5\) см, \(5{,}5\) см.

---

№4

Пусть \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AD>BC\).
\(E\) и \(F\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\), значит \(EF\) — средняя линия.

Диагонали пересекают среднюю линию в точках \(P\) и \(T\). Порядок точек:

\[ E-P-T-F. \]

Почему крайние отрезки равны

Рассмотрим \(\triangle ABC\). Точка \(E\) — середина \(AB\), а \(EP\parallel BC\). Значит, \(EP\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому

\[ EP=\frac{BC}{2}. \]

Аналогично в \(\triangle BCD\) отрезок \(TF\) — средняя линия, поэтому

\[ TF=\frac{BC}{2}. \]

Значит,

\[ EP=TF. \]

Нахождение оснований

В \(\triangle ABD\) отрезок \(ET\) — средняя линия, поэтому

\[ ET=\frac{AD}{2}. \]

Но

\[ ET=EP+PT. \]

Значит,

\[ AD=2(EP+PT). \]

В задаче, по-видимому, должно быть \(EP=TF=5\) см, \(PT=7\) см; если оставить \(4\) см, то крайние отрезки не равны, чего у трапеции быть не может.

Тогда:

\[ BC=2\cdot EP=2\cdot5=10\text{ см}, \]

\[ AD=2(EP+PT)=2(5+7)=24\text{ см}. \]

Ответ: основания \(10\) см и \(24\) см.

Уточнение к прошлому ответу: при наборе \(5,7,4\) трапеции не существует; вариант \(10\) и \(22\) получается, если исправить \(5\) на \(4\), то есть для набора \(4,7,4\).

---

№5

Пусть стороны треугольника равны \(a,b,c\), а его периметр

\[ p=a+b+c. \]

Каждая сторона разделена на три равные части. Шестиугольник состоит из шести сторон двух видов.

1. Три стороны шестиугольника лежат на сторонах исходного треугольника. Это средние трети сторон, их длины:

\[ \frac a3,\quad \frac b3,\quad \frac c3. \]

2. Ещё три стороны отсекаются у вершин треугольника. Каждая из них параллельна противоположной стороне и по подобию равна её трети:

\[ \frac a3,\quad \frac b3,\quad \frac c3. \]

То есть каждая сторона исходного треугольника «даёт» две стороны шестиугольника длиной в треть этой стороны.

Значит, периметр шестиугольника:

\[ P=2\left(\frac a3+\frac b3+\frac c3\right) =\frac{2(a+b+c)}3 =\frac{2p}{3}. \]

Ответ: \(\dfrac{2p}{3}\).

---

№9

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), причём \(a>b\). Диагонали делят среднюю линию на три отрезка:

\[ \frac b2,\qquad \frac{a-b}{2},\qquad \frac b2. \]

По условию каждый из них равен \(6\) см.

Из крайнего отрезка:

\[ \frac b2=6 \quad\Rightarrow\quad b=12. \]

Из среднего отрезка:

\[ \frac{a-b}{2}=6. \]

Подставляем \(b=12\):

\[ \frac{a-12}{2}=6, \]

\[ a-12=12, \]

\[ a=24. \]

Ответ: \(12\) см и \(24\) см.

---

№10

Пусть в равнобедренной трапеции \(ABCD\):

\[ AD\parallel BC,\quad AD=a,\quad BC=b,\quad AD>BC, \]

диагональ

\[ AC=6\text{ см}, \]

а угол между диагональю \(AC\) и основанием \(AD\) равен \(60^\circ\).

Нужно найти среднюю линию:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

Опустим перпендикуляр \(CH\) из точки \(C\) на \(AD\). В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна

\[ \frac{a-b}{2}. \]

Поэтому

\[ AH=a-\frac{a-b}{2} =\frac{2a-a+b}{2} =\frac{a+b}{2}. \]

Значит,

\[ AH=m. \]

В прямоугольном треугольнике \(ACH\):

\[ AH=AC\cos60^\circ. \]

Тогда

\[ m=6\cdot\frac12=3\text{ см}. \]

Ответ: \(3\) см.

---

№12

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а боковые стороны \(c\) и \(d\).

Периметр трапеции:

\[ a+b+c+d=40. \]

По условию сумма боковых сторон:

\[ c+d=16. \]

Тогда сумма оснований:

\[ a+b=40-16=24. \]

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[ m=\frac{a+b}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ см}. \]

Ответ: \(12\) см.