5,7,9,11 реши только их с развёрнутый решением

Кратко:

\[ 5)\ \alpha=90^\circ,\ \beta=50^\circ \] \[ 7)\ \alpha=\beta=29^\circ \] \[ 9)\ \alpha=100^\circ,\ \beta=80^\circ \] \[ 11)\ \alpha=45^\circ,\ \beta=135^\circ \]

В ромбе: противоположные углы равны, соседние в сумме дают \(180^\circ\), диагонали перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

5)

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому угол при пересечении диагоналей равен \(90^\circ\):

\[ \alpha=90^\circ \]

Дан угол \(40^\circ\) между стороной и диагональю. В прямоугольном треугольнике второй острый угол:

\[ 90^\circ-40^\circ=50^\circ \]

Диагональ ромба является биссектрисой угла, поэтому

\[ \beta=50^\circ \]

7)

Рассмотрим треугольник \(ABC\). В ромбе \(AB=BC\), значит треугольник \(ABC\) равнобедренный. Угол при вершине \(B\) равен \(122^\circ\). Тогда углы при основании:

\[ \alpha=\beta=\frac{180^\circ-122^\circ}{2}=\frac{58^\circ}{2}=29^\circ \]

Ответ: \(\alpha=29^\circ,\ \beta=29^\circ\).

9)

Угол \(80^\circ\) и внутренний угол ромба при вершине \(A\) вертикальные, значит

\[ \angle A=80^\circ \]

В ромбе противоположные углы равны, поэтому \(\angle C=80^\circ\), то есть

\[ \beta=80^\circ \]

Соседние углы ромба дают в сумме \(180^\circ\):

\[ \angle B=180^\circ-80^\circ=100^\circ \]

Значит,

\[ \alpha=100^\circ \]

11)

По рисунку \(BH\perp AD\) и отмечено равенство \(AH=BH\). Значит прямоугольный треугольник \(ABH\) равнобедренный, поэтому его острые углы равны по \(45^\circ\):

\[ \angle BAH=45^\circ \]

То есть угол \(A\) ромба равен \(45^\circ\). Противоположный ему угол \(C\) тоже \(45^\circ\):

\[ \alpha=45^\circ \]

Соседний угол:

\[ \beta=180^\circ-45^\circ=135^\circ \]

Проверка: \(45^\circ+135^\circ=180^\circ\), сумма всех углов ромба \(2(45^\circ+135^\circ)=360^\circ\). Всё сходится.