Реши задание на изображении
Кратко
1–3. Равенство доказано (см. ниже).
4. \(AC=BC=8\), \(AB=4\).
5. \(EF=15\), \(EM=MF=10\).
6. \(MK=KN=12\), \(MN=2\).
7. \(AB=0{,}8\).
Решения
№1
Внешний угол при вершине \(C\) равен \(110^\circ\), значит внутренний:
\[ \angle BCA=180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]
Но \(\angle BAC=70^\circ\). Получили:
\[ \angle BAC=\angle BCA. \]
В треугольнике против равных углов лежат равные стороны, поэтому
\[ AB=BC. \]
Значит, \(\triangle ABC\) — равнобедренный.
№2
По пометкам на рисунке:
\[ AD=CD,\qquad \angle ADB=\angle CDB, \]
а \(BD\) — общая сторона треугольников \(ABD\) и \(CBD\).
Значит,
\[ \triangle ABD=\triangle CBD \]
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\[ AB=CB, \]
то есть \(\triangle ABC\) равнобедренный.
№3
По рисунку:
\[ AE=CE,\qquad AD=CD, \]
а \(ED\) — общая сторона треугольников \(AED\) и \(CED\). Поэтому
\[ \triangle AED=\triangle CED \]
по трём сторонам. Значит,
\[ \angle AED=\angle CED. \]
Точка \(B\) лежит на \(ED\), поэтому
\[ \angle AEB=\angle CEB. \]
Теперь треугольники \(ABE\) и \(CBE\) равны по двум сторонам и углу между ними:
\[ AE=CE,\quad BE\text{ — общая},\quad \angle AEB=\angle CEB. \]
Следовательно,
\[ AB=CB. \]
Значит, \(\triangle ABC\) равнобедренный.
№4
По рисунку \(AC=BC\). Пусть
\[ AB=x. \]
Тогда
\[ AC=BC=2x. \]
Периметр:
\[ x+2x+2x=20, \]
\[ 5x=20, \]
\[ x=4. \]
Значит:
\[ AB=4,\qquad AC=BC=8. \]
Ответ: \(AC=8\), \(BC=8\), \(AB=4\).
№5
По рисунку \(EM=MF\).
Пусть одна часть равна \(x\). Тогда
\[ EF=3x,\qquad EM=MF=2x. \]
Периметр:
\[ 3x+2x+2x=35, \]
\[ 7x=35, \]
\[ x=5. \]
Значит:
\[ EF=15,\qquad EM=MF=10. \]
Ответ: \(EF=15\), \(EM=10\), \(MF=10\).
№6
Углы при основании \(MN\) равны, поэтому
\[ KM=KN. \]
Пусть
\[ MN=x. \]
Тогда
\[ KM=KN=x+10. \]
Периметр:
\[ (x+10)+(x+10)+x=26, \]
\[ 3x+20=26, \]
\[ 3x=6, \]
\[ x=2. \]
Значит:
\[ MN=2,\qquad MK=KN=12. \]
Ответ: \(MK=12\), \(KN=12\), \(MN=2\).
№7
По рисунку \(AC=BC=1{,}3\).
Периметр:
\[ AB+AC+BC=3{,}4. \]
\[ AB+1{,}3+1{,}3=3{,}4, \]
\[ AB=3{,}4-2{,}6=0{,}8. \]
Ответ: \(AB=0{,}8\).
