решение, номер 338
№ 338
Ответ:
- \(x=\dfrac{13+\sqrt{97}}{4}\);
- корней нет;
- \(x=2\).
Как решать
Сначала всегда находим ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными. Затем используем свойства:
\[ \lg a+\lg b=\lg(ab),\qquad \lg a-\lg b=\lg\frac ab, \] \[ \log_c A=\log_c B \Rightarrow A=B. \]
После решения обязательно проверяем корни по ОДЗ — иначе могут появиться лишние корни.
1)
\[
\lg(x-1)+\lg(2x-11)=\lg 2
\]
ОДЗ: \[ x-1>0,\quad 2x-11>0 \Rightarrow x>\frac{11}{2}. \]
Сворачиваем сумму:
\[ \lg\big((x-1)(2x-11)\big)=\lg 2 \]
\[ (x-1)(2x-11)=2 \]
\[ 2x^2-13x+11=2 \]
\[ 2x^2-13x+9=0 \]
\[ D=169-72=97 \]
\[ x=\frac{13\pm\sqrt{97}}{4} \]
Корень \(\frac{13-\sqrt{97}}4\approx0{,}79\) не подходит: нужно \(x>5{,}5\).
Остаётся:
\[ \boxed{x=\frac{13+\sqrt{97}}4} \]
2)
\[
\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg 5
\]
ОДЗ: \[ 3x-1>0,\quad x+5>0 \Rightarrow x>\frac13. \]
Сворачиваем разность:
\[ \lg\frac{3x-1}{x+5}=\lg 5 \]
\[ \frac{3x-1}{x+5}=5 \]
\[ 3x-1=5x+25 \]
\[ -2x=26 \]
\[ x=-13 \]
Но \(x=-13\) не входит в ОДЗ: тогда \(3x-1<0\), логарифм не определён. Поэтому:
\[ \boxed{\text{корней нет}} \]
3)
\[
\log_3(x^3-x)-\log_3 x=\log_3 3
\]
ОДЗ: \[ x>0,\quad x^3-x>0. \]
Так как \(x^3-x=x(x^2-1)\), при \(x>0\) получаем \(x>1\).
Сворачиваем:
\[ \log_3\frac{x^3-x}{x}=\log_3 3 \]
\[ \frac{x^3-x}{x}=3 \]
При \(x>0\):
\[ x^2-1=3 \]
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm2 \]
Подходит только \(x=2\), потому что \(x=-2\) не удовлетворяет \(x>1\).
\[ \boxed{x=2} \]
Проверка: \[ \log_3(8-2)-\log_3 2=\log_3 6-\log_3 2=\log_3 3=1. \]
Главный принцип: сначала ОДЗ, потом свойства логарифмов, затем приравнивание аргументов. В конце обязательно отбрасываем корни, при которых логарифм не существует.
