На фото два варианта — ниже подробно решены оба. Считаем, что все дроби рассматриваются при допустимых значениях переменных: знаменатели не равны нулю.

Краткие ответы

Вариант I

1. а) \(\dfrac{5b}{7a^2}\); б) \(\dfrac{11}{a+3}\); в) \(\dfrac{x-y}{3}\).
2. а) \(\dfrac{a^2-3}{3a^2}\); б) \(\dfrac{2b}{4a^2-b^2}\); в) \(\dfrac{1}{b(b+4)}\).
3. \(2\).
4. \(-\dfrac{12}{a(a+6)}\).
5. \(\dfrac{20}{3}=6\dfrac23\).

Вариант II

1. а) \(\dfrac{x^5}{3y}\); б) \(\dfrac{7}{b^3-5}\); в) \(\dfrac{a+b}{6}\).
2. а) \(\dfrac{x^2-12}{4x^2}\); б) \(\dfrac{2c}{16b^2-c^2}\); в) \(\dfrac{2}{a(a+7)}\).
3. \(4\).
4. \(-\dfrac{3}{x(2x+3)}\).
5. \(\dfrac{63}{2}=31{,}5\).

---

Вариант I

1. Сократите дробь

а) \[ \frac{35a^6b^8}{49a^8b^7} =\frac{35}{49}\cdot \frac{a^6}{a^8}\cdot \frac{b^8}{b^7} =\frac57\cdot \frac1{a^2}\cdot b =\frac{5b}{7a^2}. \]

б) \[ a^2+3a=a(a+3), \] поэтому \[ \frac{11a}{a^2+3a} =\frac{11a}{a(a+3)} =\frac{11}{a+3}. \]

в) Применяем формулу разности квадратов: \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \] Тогда \[ \frac{x^2-y^2}{3x+3y} =\frac{(x-y)(x+y)}{3(x+y)} =\frac{x-y}{3}. \]

2. Представьте в виде дроби

а) \[ \frac{a-6}{3a}+\frac{2a-1}{a^2}. \] Общий знаменатель \(3a^2\): \[ \frac{a(a-6)+3(2a-1)}{3a^2} = \frac{a^2-6a+6a-3}{3a^2} = \frac{a^2-3}{3a^2}. \]

б) \[ \frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b}. \] Общий знаменатель \((2a-b)(2a+b)=4a^2-b^2\): \[ \frac{(2a+b)-(2a-b)}{4a^2-b^2} = \frac{2a+b-2a+b}{4a^2-b^2} = \frac{2b}{4a^2-b^2}. \]

в) \[ b^2+4b=b(b+4). \] Поэтому \[ \frac{5}{b+4}-\frac{5b-1}{b^2+4b} = \frac{5}{b+4}-\frac{5b-1}{b(b+4)} = \frac{5b-(5b-1)}{b(b+4)} = \frac{1}{b(b+4)}. \]

3. Найдите значение выражения

\[ \frac{15a^2-b}{5a}-3a. \] Сначала упростим: \[ \frac{15a^2-b}{5a}-3a = \frac{15a^2-b-15a^2}{5a} = -\frac{b}{5a}. \] Подставляем \(a=-1{,}2\), \(b=12\): \[ -\frac{12}{5\cdot(-1{,}2)} = -\frac{12}{-6} = 2. \]

Ответ: \(2\).

4. Упростите выражение

\[ \frac{3}{a-6}-\frac{a+30}{a^2-36}-\frac{2}{a}. \] Так как \[ a^2-36=(a-6)(a+6), \] общий знаменатель: \[ a(a-6)(a+6). \] Получаем: \[ \frac{3a(a+6)-a(a+30)-2(a-6)(a+6)}{a(a-6)(a+6)}. \] Раскрываем скобки в числителе: \[ 3a^2+18a-a^2-30a-2a^2+72 = -12a+72 = -12(a-6). \] Тогда \[ \frac{-12(a-6)}{a(a-6)(a+6)} = -\frac{12}{a(a+6)}. \]

Ответ: \[ -\frac{12}{a(a+6)},\qquad a\ne0,\ a\ne\pm6. \]

5. Найдите значение дроби

Дано: \[ x-y=5. \] Тогда \[ 2x-2y=2(x-y)=2\cdot5=10. \] Значит, \[ \frac{(2x-2y)^2}{15} = \frac{10^2}{15} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}. \]

Ответ: \(\dfrac{20}{3}=6\dfrac23\).

---

Вариант II

1. Сократите дробь

а) \[ \frac{15x^7y^9}{45x^2y^{10}} = \frac{15}{45}\cdot x^{7-2}\cdot y^{9-10} = \frac13\cdot x^5\cdot \frac1y = \frac{x^5}{3y}. \]

б) \[ b^4-5b=b(b^3-5). \] Поэтому \[ \frac{7b}{b^4-5b} = \frac{7b}{b(b^3-5)} = \frac{7}{b^3-5}. \]

в) \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \] \[ 6a-6b=6(a-b). \] Тогда \[ \frac{a^2-b^2}{6a-6b} = \frac{(a-b)(a+b)}{6(a-b)} = \frac{a+b}{6}. \]

2. Представьте в виде дроби

а) \[ \frac{x-8}{4x}+\frac{2x-3}{x^2}. \] Общий знаменатель \(4x^2\): \[ \frac{x(x-8)+4(2x-3)}{4x^2} = \frac{x^2-8x+8x-12}{4x^2} = \frac{x^2-12}{4x^2}. \]

б) \[ \frac{1}{4b-c}-\frac{1}{4b+c}. \] Общий знаменатель: \[ (4b-c)(4b+c)=16b^2-c^2. \] Тогда \[ \frac{(4b+c)-(4b-c)}{16b^2-c^2} = \frac{4b+c-4b+c}{16b^2-c^2} = \frac{2c}{16b^2-c^2}. \]

в) \[ a^2+7a=a(a+7). \] Поэтому \[ \frac{3}{a+7}-\frac{3a-2}{a^2+7a} = \frac{3a-(3a-2)}{a(a+7)} = \frac{2}{a(a+7)}. \]

3. Найдите значение выражения

\[ \frac{18x^2-y}{2x}-9x. \] Упростим: \[ \frac{18x^2-y}{2x}-9x = \frac{18x^2-y-18x^2}{2x} = -\frac{y}{2x}. \] Подставляем \(x=-1{,}5\), \(y=12\): \[ -\frac{12}{2\cdot(-1{,}5)} = -\frac{12}{-3} = 4. \]

Ответ: \(4\).

4. Упростите выражение

\[ \frac{3}{2x-3}-\frac{2x+15}{4x^2-9}-\frac1x. \] Так как \[ 4x^2-9=(2x-3)(2x+3), \] общий знаменатель: \[ x(2x-3)(2x+3). \] Тогда \[ \frac{3x(2x+3)-x(2x+15)-(2x-3)(2x+3)} {x(2x-3)(2x+3)}. \] Раскрываем числитель: \[ 6x^2+9x-2x^2-15x-4x^2+9 = -6x+9 = -3(2x-3). \] Сокращаем на \(2x-3\): \[ \frac{-3(2x-3)}{x(2x-3)(2x+3)} = -\frac{3}{x(2x+3)}. \]

Ответ: \[ -\frac{3}{x(2x+3)},\qquad x\ne0,\ x\ne\pm\frac32. \]

5. Найдите значение дроби

Дано: \[ a-b=7. \] Тогда \[ 3a-3b=3(a-b)=3\cdot7=21. \] Значит, \[ \frac{(3a-3b)^2}{14} = \frac{21^2}{14} = \frac{441}{14} = \frac{63}{2} = 31{,}5. \]

Ответ: \(\dfrac{63}{2}=31{,}5\).

---

Что важно запомнить

• При сокращении раскладывайте числитель и знаменатель на множители и убирайте только одинаковые множители, а не слагаемые.
• Для степеней: \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
• При сложении дробей приводите к общему знаменателю.
• В заданиях «найдите значение» сначала упростите выражение, а числа подставляйте в конце.