реши 24

Кратко: площадь \(\triangle KAB\) действительно равна половине площади трапеции. Ключ — точка \(K\) находится на одинаковом расстоянии \(h/2\) от обоих оснований.

Пусть \(AD\parallel BC\) — основания трапеции, \(AD=a\), \(BC=b\), высота трапеции равна \(h\). Тогда

\[ S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}\cdot h. \]

Так как \(K\) — середина боковой стороны \(CD\), расстояние от \(K\) до каждой из параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) равно \(\frac h2\).

Отрезки \(AK\) и \(BK\) разбивают трапецию на три треугольника:

\[ \triangle ADK,\quad \triangle KAB,\quad \triangle KBC. \]

Их площади:

\[ S_{ADK}=\frac12\cdot a\cdot \frac h2=\frac{ah}{4}, \]

\[ S_{KBC}=\frac12\cdot b\cdot \frac h2=\frac{bh}{4}. \]

Значит,

\[ S_{ADK}+S_{KBC} =\frac{ah}{4}+\frac{bh}{4} =\frac{(a+b)h}{4} =\frac12 S_{ABCD}. \]

Следовательно, на оставшийся треугольник \(KAB\) приходится ровно вторая половина площади:

\[ S_{KAB}=S_{ABCD}-\frac12S_{ABCD} =\frac12S_{ABCD}. \]

Что важно запомнить: если точка — середина отрезка между параллельными прямыми, её расстояния до этих прямых равны половине высоты. Поэтому площади двух «крайних» треугольников в сумме дают половину площади трапеции, а оставшийся треугольник — вторую половину.