Реши задание на изображении
На фото номера 916–922. Ниже решения всех пунктов. В эскизах 917 и 921 конкретные высоты в точках экстремума не заданы, поэтому беру удобные значения — важны только направления графика.
916
- \(y'=2>0\) — экстремумов нет.
- \(y'=-5<0\) — экстремумов нет.
- \(y'=3x^2+2>0\) — экстремумов нет.
- \(y=\frac x2-\frac1{x^2}\), \(x\ne0\).
\[ y'=\frac12+\frac{2}{x^3}. \] \(y'=0\) при \(x^3=-4\), то есть \(x=-\sqrt[3]{4}\). Производная меняет знак с \(+\) на \(-\), значит это точка максимума.
\[ y_{\max}=-\frac{3\sqrt[3]{4}}4. \]
917
\(x=4\) — точка максимума. Эскиз:
\[ (-1;0)\nearrow(4;f(4))\searrow(7;-2),\quad f(4)>0. \] Например, можно взять \(f(4)=3\).\(x=-1\) — точка минимума. Эскиз:
\[ (-5;1)\searrow(-1;f(-1))\nearrow(4;-3),\quad f(-1)<-3. \] Например, \(f(-1)=-4\).
918
Критические точки ищем внутри области определения, где \(y'=0\) или \(y'\) не существует.
\(D(y)=\left[-\sqrt{\frac23};\sqrt{\frac23}\right]\),
\[ y'=-\frac{3x}{\sqrt{2-3x^2}}. \] Ответ: \(x=0\).\(D(y)=[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty)\),
\[ y'=\frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x}}. \] Корни \(x=\pm1\), но \(x=1\notin D(y)\).
Ответ: \(x=-1\).\(y=|x-1|\).
Ответ: \(x=1\), так как в этой точке производная не существует.\(y=x^2-|x|-2\).
При \(x>0\): \(y'=2x-1\), корень \(x=\frac12\).
При \(x<0\): \(y'=2x+1\), корень \(x=-\frac12\).
В точке \(x=0\) производная не существует.
Ответ: \(x=-\frac12,\ 0,\ \frac12\).
919
\(y=x+\sqrt{3-x}\),
\[ y'=1-\frac1{2\sqrt{3-x}},\qquad y'=0 \Rightarrow x=\frac{11}{4}. \] Производная меняет знак с \(+\) на \(-\), значит \(x=\frac{11}{4}\) — точка максимума.
\[ y\left(\frac{11}{4}\right)=\frac{13}{4}. \] Если учитывать концы области, то \(x=3\) — точка минимума.\(y=(x-1)^{6/7}\).
\[ y'=\frac67(x-1)^{-1/7}. \] Производная меняет знак с \(-\) на \(+\) при \(x=1\).
Ответ: \(x=1\) — точка минимума, \(y(1)=0\).\(y=x-\sin2x\),
\[ y'=1-2\cos2x. \] Точки экстремума: \[ x=\frac{\pi}{6}+\pi k \] — точки минимума; \[ x=-\frac{\pi}{6}+\pi k \] — точки максимума.\(y=\cos3x-3x\),
\[ y'=-3(1+\sin3x)\le0. \] Производная не меняет знак, поэтому точек экстремума нет.
920
\[ y=\frac{(2-x)^3}{(3-x)^2},\quad x\ne3. \] \[ y'=\frac{(2-x)^2(x-5)}{(3-x)^3}. \] \(x=5\) — точка максимума: \[ y(5)=-\frac{27}{4}. \] \(x=2\) — стационарная точка, но не экстремум.
\[ y=\frac{x^3+2x^2}{(x-1)^2},\quad x\ne1. \] \[ y'=\frac{x(x-4)(x+1)}{(x-1)^3}. \] Экстремумы:
- \(x=-1\) — максимум, \(y(-1)=\frac14\);
- \(x=0\) — минимум, \(y(0)=0\);
- \(x=4\) — минимум, \(y(4)=\frac{32}{3}\).
\[ y=(x-1)e^{3x},\qquad y'=e^{3x}(3x-2). \] \(x=\frac23\) — точка минимума: \[ y\left(\frac23\right)=-\frac{e^2}{3}. \] Максимума нет.
\[ y=\sin x+\frac12\sin2x,\qquad y'=\cos x+\cos2x. \] Точки максимума: \[ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad y=\frac{3\sqrt3}{4}. \] Точки минимума: \[ x=\frac{5\pi}{3}+2\pi k,\qquad y=-\frac{3\sqrt3}{4}. \] Точки \(x=\pi+2\pi k\) не являются экстремумами.
\[ y=e^{\sqrt{3-x^2}},\qquad D(y)=[-\sqrt3;\sqrt3]. \] \[ y'=-\frac{x e^{\sqrt{3-x^2}}}{\sqrt{3-x^2}}. \] \(x=0\) — точка максимума: \[ y(0)=e^{\sqrt3}. \] Если учитывать концы области, то \(x=\pm\sqrt3\) — точки минимума, \(y=1\).
\[ y=\sqrt{e^x-x},\qquad y'=\frac{e^x-1}{2\sqrt{e^x-x}}. \] \[ y'=0 \Rightarrow x=0. \] Производная меняет знак с \(-\) на \(+\), значит \(x=0\) — точка минимума: \[ y(0)=1. \] Максимума нет.
921
- Эскиз можно построить по точкам: \[ (-6;-6)\nearrow(-4;0)\searrow(-1;-4)\nearrow(4;3)\searrow(6;1). \] То есть:
- \(x=-4\) — максимум;
- \(x=-1\) — минимум;
- \(x=4\) — максимум.
- Эскиз: \[ (-4;5)\searrow(-3;1)\nearrow(0;4)\searrow(3;0)\nearrow(5;1). \] То есть:
- \(x=-3\) — минимум;
- \(x=0\) — максимум;
- \(x=3\) — минимум.
Высоты в точках экстремума в задаче не заданы; я взял удобные значения, сохранив чередование возрастания и убывания.
922
\[ y=(x+1)^n e^{-x},\quad n\in\mathbb N. \] \[ y'=e^{-x}(x+1)^{n-1}(n-1-x). \]
Если \(n\) нечётное, то есть одна точка экстремума: \[ x=n-1 \] — точка максимума, \[ y_{\max}=n^n e^{-(n-1)}. \] Точка \(x=-1\) (при \(n>1\)) экстремумом не является.
Если \(n\) чётное, то:
- \(x=-1\) — точка минимума, \(y=0\);
- \(x=n-1\) — точка максимума, \[ y_{\max}=n^n e^{-(n-1)}. \]
При \(n=1\) получается \(y=(x+1)e^{-x}\), и единственная точка экстремума \(x=0\) — максимум.
