что значит разложить квадратный трехчлен на множители
Краткий ответ
Разложить квадратный трёхчлен на множители — значит записать его в виде произведения:
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),\]где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
Почему формула именно такая
Если \(x_1,x_2\) — корни, то по теореме Виета
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.\]Раскроем скобки в \(a(x-x_1)(x-x_2)\):
\[a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=ax^2+bx+c.\]То есть полученное произведение действительно равно исходному трёхчлену.
Как это делать: 3 шага
- Найти корни. Приравнять трёхчлен к нулю и решить:\[D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\]
- Записать произведение \(a(x-x_1)(x-x_2)\) — коэффициент \(a\) обязательно выносится вперёд.
- Проверить, раскрыв скобки: должно получиться исходное выражение.
Пример
Разложим \(2x^2-5x+2\).
\[D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9,\quad \sqrt D=3,\] \[x_1=\frac{5+3}{4}=2,\qquad x_2=\frac{5-3}{4}=\frac12.\]Значит,
\[2x^2-5x+2=2(x-2)\left(x-\tfrac12\right)=(x-2)(2x-1).\]Проверка: \((x-2)(2x-1)=2x^2-x-4x+2=2x^2-5x+2\) — верно.
Три случая
| Дискриминант | Что получается |
|---|---|
| \(D>0\) | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) — два разных множителя |
| \(D=0\) | \(a(x-x_1)^2\) — полный квадрат |
| \(D<0\) | на линейные множители с действительными числами не раскладывается |
Иногда дискриминант не нужен: например, \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) сразу по теореме Виета (сумма \(5\), произведение \(6\)).
Обсуждение
6 сообщенийзначит найти два корня?
Почти — но не совсем. Корни нужны как промежуточный шаг, а результат разложения — это произведение \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
Три важных уточнения:
Корней может быть не два. При \(D=0\) корень один (точнее, два совпадающих), и разложение выглядит так:
\[x^2-6x+9=(x-3)^2.\]А при \(D<0\) действительных корней нет — и на множители с действительными числами трёхчлен не раскладывается.
Нельзя забыть коэффициент \(a\). Если \(a\ne1\), он выносится перед скобками:
\[3x^2-3=3(x-1)(x+1),\]а не \((x-1)(x+1)\).
Иногда корни и не нужны. Простые случаи раскладываются подбором по теореме Виета:
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]
Итог: найти корни — это способ, а «разложить на множители» — значит записать исходное выражение в виде произведения и убедиться, что при раскрытии скобок получается то же самое.
ну вот такое щадание 457, по дискреминанту можно пешить?
Да, по дискриминанту можно решать все 8 пунктов. Для \(a=1\) (пункты 1–4) быстрее подобрать корни по теореме Виета, но через \(D\) тоже всё получится.
Используем формулу: \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]
1) \(x^2-5x+6\)
\(D=25-24=1\), корни \(2\) и \(3\).
\[
x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
\]
2) \(x^2+4x-5\)
\(D=16+20=36\), корни \(1\) и \(-5\).
\[
x^2+4x-5=(x-1)(x+5).
\]
3) \(x^2+5x-24\)
\(D=25+96=121\), корни \(3\) и \(-8\).
\[
x^2+5x-24=(x-3)(x+8).
\]
4) \(x^2+x-42\)
\(D=1+168=169\), корни \(6\) и \(-7\).
\[
x^2+x-42=(x-6)(x+7).
\]
5) \(2x^2-x-1\)
\(D=1+8=9\), корни \(1\) и \(-\frac12\).
\[
2x^2-x-1=2(x-1)\left(x+\frac12\right)=(x-1)(2x+1).
\]
6) \(8x^2+10x+3\)
\(D=100-96=4\), корни \(-\frac12\) и \(-\frac34\).
\[
8x^2+10x+3=8\left(x+\frac12\right)\left(x+\frac34\right)=(2x+1)(4x+3).
\]
7) \(-6x^2+7x-2\)
Сначала вынесем минус: \(-(6x^2-7x+2)\).
\(D=49-48=1\), корни \(\frac23\) и \(\frac12\).
\[
-6x^2+7x-2=-6\left(x-\frac23\right)\left(x-\frac12\right)=(3x-2)(1-2x).
\]
8) \(-4x^2-7x+2\)
Вынесем минус: \(-(4x^2+7x-2)\).
\(D=49+32=81\), корни \(\frac14\) и \(-2\).
\[
-4x^2-7x+2=-4\left(x-\frac14\right)(x+2)=(1-4x)(x+2).
\]
Если раскрыть скобки в любом ответе, получится исходный трёхчлен — так можно проверить себя.
а по винту как
Да, через теорему Виета тоже можно — и для пунктов 1–4 это даже быстрее, потому что там \(a=1\).
Теорема Виета. Если \(x_1,x_2\) — корни \(ax^2+bx+c=0\), то \[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \] Дальше всё так же: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Если \(a=1\), то просто ищем два числа с заданными суммой и произведением.
1) \(x^2-5x+6\): сумма \(5\), произведение \(6\) → \(2\) и \(3\).
\[
(x-2)(x-3).
\]
2) \(x^2+4x-5\): сумма \(-4\), произведение \(-5\) → \(1\) и \(-5\).
\[
(x-1)(x+5).
\]
3) \(x^2+5x-24\): сумма \(-5\), произведение \(-24\) → \(3\) и \(-8\).
\[
(x-3)(x+8).
\]
4) \(x^2+x-42\): сумма \(-1\), произведение \(-42\) → \(6\) и \(-7\).
\[
(x-6)(x+7).
\]
Дальше \(a\ne1\), поэтому в Виете появляются дроби — считать приходится аккуратнее.
5) \(2x^2-x-1\): сумма \(\frac12\), произведение \(-\frac12\) → \(1\) и \(-\frac12\).
\[
2(x-1)\left(x+\tfrac12\right)=(x-1)(2x+1).
\]
6) \(8x^2+10x+3\): сумма \(-\frac54\), произведение \(\frac38\) → \(-\frac12\) и \(-\frac34\).
\[
8\left(x+\tfrac12\right)\left(x+\tfrac34\right)=(2x+1)(4x+3).
\]
7) \(-6x^2+7x-2\): сумма \(\frac76\), произведение \(\frac13\) → \(\frac23\) и \(\frac12\).
\[
-6\left(x-\tfrac23\right)\left(x-\tfrac12\right)=(3x-2)(1-2x).
\]
8) \(-4x^2-7x+2\): сумма \(-\frac74\), произведение \(-\frac12\) → \(\frac14\) и \(-2\).
\[
-4\left(x-\tfrac14\right)(x+2)=(1-4x)(x+2).
\]
Когда какой способ удобнее:
- \(a=1\) и корни целые — Виет быстрее, считаешь в уме;
- \(a\ne1\) или корни дробные — дискриминант надёжнее, меньше риска ошибиться в подборе;
- в любом случае ответ можно проверить раскрытием скобок.
