Реши задание на изображении
На скриншоте видны задания Части 2. Главное правило: при повороте точки \((1;0)\) на угол \(\alpha\) получается точка
\[
(\cos\alpha;\ \sin\alpha),
\]
а углы, отличающиеся на \(2\pi k\) или \(360^\circ k\), дают одну и ту же точку.
Краткий ответ
\[ 1а)\ M'\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
\[ 1б)\ M'(0;1) \]
\[ 2а)\ P'=(0;(-1)^{k+1}); \] то есть при чётном \(k\) — \((0;-1)\), при нечётном \(k\) — \((0;1)\).
\[ 2б)\ P'\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right) \]
\[ 3а)\ A'\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
\[ 3б)\ A'\left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
Как это получается
1а.
\[
\alpha=\frac{\pi}{3}=60^\circ
\]
\[
M'=(\cos60^\circ;\sin60^\circ)=\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)
\]
На единичной окружности это точка в I четверти под углом \(60^\circ\).
1б.
\[
-\frac{3\pi}{2}+4\pi k
\]
Число \(4\pi k\) — целое число полных оборотов, его можно отбросить. Угол \(-\frac{3\pi}{2}\) совпадает с \(\frac{\pi}{2}\):
\[
M'=(0;1)
\]
Это верхняя точка окружности; при любом целом \(k\) она одна и та же.
2а.
Угол:
\[
-\frac{\pi}{2}\pm\pi k
\]
Если \(k\) чётное, то \(\pi k\) — целое число полных оборотов, поэтому точка нижняя:
\[
(0;-1)
\]
Если \(k\) нечётное, то добавляется ещё половина оборота, и точка верхняя:
\[
(0;1)
\]
Знак \(\pm\) здесь не меняет ответ: при одном и том же \(k\) оба варианта отличаются на полный оборот.
2б.
\[
2\pi k
\]
не меняет положение точки:
\[
P'=\left(\cos\frac{\pi}{4};\sin\frac{\pi}{4}\right)
=\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)
\]
3а.
\[
360^\circ+420^\circ=780^\circ=2\cdot360^\circ+60^\circ
\]
Остаётся угол \(60^\circ\):
\[
A'=\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)
\]
3б.
\[
5\pi+\frac{13\pi}{3}
=\frac{15\pi}{3}+\frac{13\pi}{3}
=\frac{28\pi}{3}
\]
\[
\frac{28\pi}{3}=8\pi+\frac{4\pi}{3}
\]
\(8\pi\) — четыре полных оборота, поэтому остаётся \(\frac{4\pi}{3}=240^\circ\):
\[
A'=\left(\cos240^\circ;\sin240^\circ\right)
=\left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)
\]
Проверка: все найденные точки лежат на единичной окружности, то есть \(x^2+y^2=1\). Например, для 3б: \[ \left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac14+\frac34=1. \]
