Реши задание на изображении

Краткий ответ

Верно:

1. \(A\cup B=B\cup A\)
2. \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\)

Неверно: 3. \((A\cup B)\cap C=(A\cup C)\cap(B\cup C)\) 4. \(A\cap A=0\) 5. \((A\cup B)\cup C=A\cup(C\cap B)\)

Почему так

1. Объединение не зависит от порядка — это свойство коммутативности.

2. Это распределительный закон: пересечение «распределяется» по объединению.

3. Это не тождество. Проверка на примере: \[ A=\{1\},\quad B=\{2\},\quad C=\{3\}. \] Тогда \[ (A\cup B)\cap C=\{1,2\}\cap\{3\}=\varnothing, \] а \[ (A\cup C)\cap(B\cup C)=\{1,3\}\cap\{2,3\}=\{3\}. \] Результаты разные, значит, равенство неверно. Правильный родственный закон: \[ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C). \]

4. На самом деле \[ A\cap A=A, \] а не пустое множество. Например, если \(A=\{1\}\), то \(A\cap A=\{1\}\).

5. Слева объединяются все три множества: \[ (A\cup B)\cup C=A\cup B\cup C. \] Справа \(A\cup(C\cap B)\) не содержит элементов \(B\), которые не попали в \(C\). Например: \[ A=\{1\},\ B=\{2\},\ C=\{3\}. \] Слева: \(\{1,2,3\}\), справа: \(\{1\}\). Значит, равенство неверно.