признаки параллелограмма

Краткий ответ

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (это определение). А признаки — это условия, по которым параллелограмм узнают, не проверяя оба пары сторон на параллельность:

1. Две противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны (\(AB=CD\) и \(BC=AD\)).
3. Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам (\(AO=OC\), \(BO=OD\)).
4. Противоположные углы попарно равны (\(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\)).

Почему это работает

Общая идея всех доказательств одна: диагональ превращает четырёхугольник в два треугольника, их равенство даёт равные накрест лежащие углы, а равные накрест лежащие углы при секущей — это параллельность прямых.

Признак 1. Пусть \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\). Проведём \(AC\). Тогда \(\angle BAC=\angle ACD\) (накрест лежащие при \(AB\parallel CD\)). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(AB=CD\), \(AC\) — общая). Значит, \(\angle BCA=\angle CAD\), а это накрест лежащие при прямых \(BC\) и \(AD\) с секущей \(AC\), поэтому \(BC\parallel AD\).

Признак 2. Дано \(AB=CD\), \(BC=AD\). С диагональю \(AC\) треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам, отсюда \(\angle BAC=\angle ACD\) (значит \(AB\parallel CD\)) и \(\angle BCA=\angle CAD\) (значит \(BC\parallel AD\)).

Признак 3. Дано \(AO=OC\), \(BO=OD\). Углы \(\angle AOB=\angle COD\) вертикальные, поэтому треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда \(AB=CD\) и \(\angle OAB=\angle OCD\) — накрест лежащие, то есть \(AB\parallel CD\). Сработал признак 1.

Признак 4. Сумма углов четырёхугольника \(360^\circ\), и если \(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\), то \(2\angle A+2\angle B=360^\circ\), то есть \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Это односторонние углы при секущей \(AB\), значит \(AD\parallel BC\); аналогично \(AB\parallel CD\).

Проверка и типичные ошибки

• Пример: в четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), \(AO=OC=4\), \(BO=OD=3\). Этого достаточно — по признаку 3 это параллелограмм (а вот про углы и стороны мы ничего не знаем и знать не обязаны).
• Равнобедренная трапеция: \(AB\parallel CD\) и \(BC=AD\) — стороны параллельны «через одну», равенство не тех сторон. Признак 2 требует равенства обеих пар.
• «Диагонали равны» — это не признак параллелограмма (равные диагонали бывают у равнобедренной трапеции и у прямоугольника).
• Не путайте признак (по нему доказывают, что фигура — параллелограмм) и свойство (что из этого уже следует: равные стороны, равные углы, делящиеся диагонали).