реши для 10 класса

Да, можно без координат — только через углы и подобие треугольников.

Пусть \(O\) — центр описанной окружности, \(BD\perp AO\), точка \(D\) лежит на \(AC\).

1. Угол \(AOB\) — центральный, поэтому

\[ \angle AOB=2\angle ACB. \]

2. Треугольник \(AOB\) равнобедренный: \(OA=OB\). Значит,

\[ \angle OAB=\frac{180^\circ-2\angle ACB}{2} =90^\circ-\angle ACB. \]

3. Так как \(BD\perp AO\), то

\[ \angle ABD=90^\circ-\angle OAB =90^\circ-(90^\circ-\angle ACB) =\angle ACB. \]

4. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACB\):

• \(\angle BAD=\angle CAB\) — это один и тот же угол;
• \(\angle ABD=\angle ACB\).

Значит,

\[ \triangle ABD\sim\triangle ACB. \]

Из подобия:

\[ \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}. \]

Отсюда

\[ AD=\frac{AB^2}{AC} =\frac{396^2}{432}. \]

Считаем удобно:

\[ \frac{396}{432}=\frac{11}{12}, \]

поэтому

\[ AD=\frac{11}{12}\cdot 396=363. \]

Тогда

\[ CD=AC-AD=432-363=69. \]

Ответ: \(CD=69\).

Здесь используются только центральные и вписанные углы, равнобедренный треугольник и подобие — без координат.

Обозначим центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\). Пусть касательная к первой окружности в точке \(A\) пересекает вторую окружность ещё в точке \(P\).

Пусть

\[ \angle AO_1O_2=x. \]

Так как \(O_1O_2\) — линия центров, она является осью симметрии точек \(A\) и \(B\), поэтому

\[ \angle AO_1B=2x. \]

1. Найдём угол в треугольнике \(AO_1O_2\)

Первая окружность проходит через \(O_2\), значит

\[ O_1A=O_1O_2. \]

Треугольник \(AO_1O_2\) равнобедренный, поэтому

\[ \angle O_1AO_2=\frac{180^\circ-x}{2} =90^\circ-\frac{x}{2}. \]

Касательная \(AP\) перпендикулярна радиусу \(O_1A\), следовательно

\[ \angle PAO_2 =90^\circ-\angle O_1AO_2 =\frac{x}{2}. \]

2. Переходим ко второй окружности

В треугольнике \(AO_2P\):

\[ O_2A=O_2P \]

как радиусы второй окружности. Значит, углы при основании равны:

\[ \angle O_2AP=\angle APO_2=\frac{x}{2}. \]

Тогда центральный угол

\[ \angle AO_2P=180^\circ-x. \]

Он соответствует меньшей дуге \(AP\) второй окружности. По условию дуги относятся как \(32:47\), поэтому

\[ \frac{180^\circ-x}{180^\circ+x}=\frac{32}{47}. \]

Решаем:

\[ 47(180-x)=32(180+x), \]

\[ 8460-47x=5760+32x, \]

\[ 2700=79x, \]

\[ x=\frac{2700^\circ}{79}. \]

3. Отношение дуг первой окружности

Вторая окружность пересекает первую в точках \(A\) и \(B\), поэтому дуги первой окружности имеют угловые меры

\[ 2x \quad \text{и} \quad 360^\circ-2x. \]

Их отношение:

\[ 2x:(360^\circ-2x)=x:(180^\circ-x). \]

Подставляем:

\[ x: (180^\circ-x) =\frac{2700}{79}:\left(180-\frac{2700}{79}\right) =\frac{2700}{79}:\frac{11520}{79} =2700:11520. \]

Сокращаем на \(180\):

\[ 2700:11520=15:64. \]

Ответ: \(15:64\).

Для последней задачи дано можно записать так:

Дано:

• две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\);
• первая окружность с центром \(O_1\) проходит через точку \(O_2\);
• окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\);
• \(AP\) — касательная к первой окружности в точке \(A\);
• точка \(P\) лежит на второй окружности;
• две дуги \(AP\) второй окружности относятся как
  \[ 32:47. \]

Найти: отношение дуг \(AB\) первой окружности, на которые её разбивают точки \(A\) и \(B\).

Оформляю «Дано» к той задаче, которую решали:

Дано:

• две окружности \(\omega_1\) с центром \(O_1\) и \(\omega_2\) с центром \(O_2\);
• окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\);
• первая окружность \(\omega_1\) проходит через центр второй окружности, то есть \(O_2\in\omega_1\);
• касательная к первой окружности в точке \(A\) пересекает вторую окружность ещё в точке \(P\);
• дуги \(AP\) второй окружности относятся как
  \[ 32:47. \]

Найти:
отношение дуг \(AB\) первой окружности.

В решении это записывалось так:
\[ \smile AP_{\text{меньшая}}:\smile AP_{\text{большая}}=32:47, \] а нужно найти \[ \smile AB_{\text{меньшая}}:\smile AB_{\text{большая}}. \]

Ответ в предыдущем решении: \(15:64\).