Реши задание на изображении

Ответ: а) доказано; б) \(AT:TC=46:9\).

Пусть \(\angle BAD=2\alpha\), \(AB=m\). Тогда \(AC\) — биссектриса, значит
\[ \angle BAC=\angle CAD=\alpha. \] Из прямоугольных треугольников \(ABC\) и \(ABD\): \[ AC=m\cos\alpha,\quad BC=m\sin\alpha, \] \[ AD=m\cos2\alpha,\quad BD=m\sin2\alpha. \]

а) Доказательство

Применим теорему косинусов в \(\triangle ACD\): \[ CD^2=AC^2+AD^2-2\cdot AC\cdot AD\cos\alpha. \] Подставим длины: \[ CD^2=m^2\cos^2\alpha+m^2\cos^2 2\alpha-2m^2\cos^2\alpha\cos2\alpha. \] После упрощения: \[ CD^2=m^2\sin^2\alpha=BC^2, \] поэтому \[ CD=BC. \] Теперь: \[ AC^2+CD^2=AC^2+BC^2=AB^2=m^2. \] С другой стороны, в прямоугольном \(\triangle ABD\): \[ AD^2+BD^2=AB^2=m^2. \] Следовательно, \[ AC^2+CD^2=AD^2+BD^2. \]

б) Находим \(AT:TC\)

Точка \(T\) лежит на \(BD\), а \(BD\perp AD\), значит \(\triangle ADT\) прямоугольный, причём
\[ \angle DAT=\alpha. \] Тогда \[ AT=\frac{AD}{\cos\alpha} =\frac{m\cos2\alpha}{\cos\alpha}. \] Так как \(AC=m\cos\alpha\), то \[ TC=AC-AT =m\cos\alpha-\frac{m\cos2\alpha}{\cos\alpha} =\frac{m(\cos^2\alpha-\cos2\alpha)}{\cos\alpha} =\frac{m\sin^2\alpha}{\cos\alpha}. \] Поэтому \[ AT:TC=\cos2\alpha:\sin^2\alpha. \]

Дано: \[ \cos\angle ABC=\frac38. \] В прямоугольном \(\triangle ABC\) угол \(\angle ABC=90^\circ-\alpha\), поэтому \[ \sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)=\frac38. \] Значит, \[ \sin^2\alpha=\frac{9}{64}, \] \[ \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha =1-\frac{18}{64} =\frac{46}{64}. \] Тогда \[ AT:TC=\frac{46}{64}:\frac{9}{64}=46:9. \]

Проверка: при этом \(AT=\frac{46}{55}AC\), \(TC=\frac{9}{55}AC\), их сумма даёт \(AC\).