1. При доказательстве нужно еще указать угол между сторонами. 3. Лови подсказку. Она поможет тебе. Пробуй
Кратко: треугольники \(ADB\) и \(DBC\) равны по первому признаку — по двум сторонам и углу между ними.
Что не так в записи на фото:
- Нельзя писать \(AD=AP+PD\): точки \(A,P,D\) не лежат на одной прямой, поэтому \(AP+PD\) — это ломаная, а не сторона \(AD\). То же самое с \(BC\neq PC+PB\).
- \(\angle DAB\) и \(\angle CBA\) — не те углы. Для сторон \(AD\) и \(DB\) нужен \(\angle ADB\), а для \(BC\) и \(DB\) — \(\angle CBD\). Вертикальные углы здесь при вершине \(P\): \(\angle APB=\angle CPD\).
Доказательство по подсказке:
\(\angle APB=\angle CPD\) как вертикальные. По условию \(AP=PC\), \(PB=PD\). Значит,
\[ \triangle APB=\triangle CPD \] по двум сторонам и углу между ними.Из равенства треугольников: \[ AB=CD,\qquad \angle ABP=\angle CDP. \] Так как \(P\) лежит на \(DB\), то \[ \angle ABP=\angle ABD,\qquad \angle CDP=\angle CDB. \] Поэтому \[ \angle ABD=\angle CDB. \]
В треугольниках \(ADB\) и \(DBC\): \[ AB=DC,\qquad DB\text{ — общая},\qquad \angle ABD=\angle CDB. \] Угол заключён между равными сторонами, поэтому по первому признаку треугольники равны.
Проверка: в пункте 3 сравниваются именно стороны \(AB,DB\) и \(DC,DB\), а угол в каждом треугольнике лежит между ними. Признак применён верно.
Если хочется идти через \(AD\) и \(BC\), то \(AD=BC\) надо доказывать не сложением, а через равенство \(\triangle APD=\triangle CPB\); тогда нужные углы — \(\angle ADB\) и \(\angle CBD\).
Обсуждение
2 сообщения1. Угол N- общий. 3. Нужно доказать сначала равенство треугольников АРД и ВРС. Из их равенства следует, сто АД равно ВС. Угол АДВ равен углу ДВС. Попробуй🫶
Подсказка учителя действительно ведёт к короткому доказательству. Вот как оформить задание 3.
Рассмотрим \(\triangle APD\) и \(\triangle BPC\): \[ AP=PC,\qquad DP=PB,\qquad \angle APD=\angle BPC \] (углы вертикальные, так как \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\)).
По первому признаку равенства треугольников: \[ \triangle APD=\triangle BPC. \]Из равенства треугольников следует: \[ AD=BC,\qquad \angle ADP=\angle CBP. \] Точка \(P\) лежит на \(DB\), поэтому \[ \angle ADP=\angle ADB,\qquad \angle CBP=\angle DBC. \] Значит, \[ \angle ADB=\angle DBC. \]
Теперь рассмотрим \(\triangle ADB\) и \(\triangle DBC\): \[ AD=BC,\qquad DB\text{ — общая},\qquad \angle ADB=\angle DBC. \] Угол \(\angle ADB\) заключён между сторонами \(AD\) и \(DB\), а \(\angle DBC\) — между \(DB\) и \(BC\).
По первому признаку: \[ \triangle ADB=\triangle DBC. \]
Готово. Здесь как раз видно, что угол стоит между равными сторонами — это то, на что учитель обращал внимание. Твой прежний вариант через \(\triangle APB\) и \(\triangle CPD\) тоже был верным, но этот путь короче и точно соответствует подсказке.
Если нужно, разберём и задание 1 — там подсказка про угол \(N\) тоже помогает.
