номер 142
Краткие ответы:
- \(x=0\)
- Корней нет
- \(x=5;\ x=6\)
- \(x=4\)
1) \(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{4x}{x^2-1}\)
ОДЗ:
\[ x\neq -1,\qquad x\neq 1 \]
Общий знаменатель: \((x-1)(x+1)=x^2-1\). Умножаем обе части:
\[ x(x-1)+2x(x+1)=4x \]
\[ x^2-x+2x^2+2x=4x \]
\[ 3x^2+x=4x \]
\[ 3x^2-3x=0 \]
\[ 3x(x-1)=0 \]
Получаем \(x=0\) или \(x=1\). Но \(x=1\) не входит в ОДЗ, поэтому:
\[ \boxed{x=0} \]
Проверка: при \(x=0\) обе части равны \(0\).
2) \(\dfrac{x-1}{x-2}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{x-2}\)
ОДЗ:
\[ x\neq 2,\qquad x\neq 0 \]
Удобно перенести дробь со знаменателем \(x-2\) влево:
\[ \frac{x-1}{x-2}-\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x}=0 \]
\[ \frac{x-2}{x-2}-\frac{2}{x}=0 \]
При \(x\neq 2\):
\[ 1-\frac{2}{x}=0 \]
\[ \frac{2}{x}=1 \]
\[ x=2 \]
Но \(x=2\) не входит в ОДЗ. Значит, это посторонний корень:
\[ \boxed{\text{корней нет}} \]
3) \((x-3)(x-5)=3(x-5)\)
Нельзя просто сокращать на \(x-5\): при \(x=5\) это выражение равно нулю, и корень можно потерять.
Переносим всё влево:
\[ (x-3)(x-5)-3(x-5)=0 \]
Выносим общий множитель \(x-5\):
\[ (x-5)\bigl((x-3)-3\bigr)=0 \]
\[ (x-5)(x-6)=0 \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=5,\quad x=6} \]
4) \((x-2)(x^2+1)=2(x^2+1)\)
Переносим влево:
\[ (x-2)(x^2+1)-2(x^2+1)=0 \]
Выносим \(x^2+1\):
\[ (x^2+1)(x-2-2)=0 \]
\[ (x^2+1)(x-4)=0 \]
Так как для любого действительного \(x\)
\[ x^2+1>0, \]
первый множитель нулю не равен. Значит:
\[ x-4=0 \]
\[ \boxed{x=4} \]
Что важно запомнить:
- Для дробных уравнений сначала находим ОДЗ.
- После решения обязательно проверяем корни по ОДЗ.
- Нельзя сокращать на выражение с переменной, если оно может быть равно нулю: можно потерять корень.
- Лучше переносить всё в одну сторону и раскладывать на множители.
