номер 143
Краткий ответ:
- \(x\in\mathbb{R}\) — подходит любое число;
- \(x\in\left(\frac72;\,5\right)\).
1) \(\dfrac{x+3}{x^2+2}<3\)
Знаменатель \(x^2+2>0\) при всех \(x\), поэтому при умножении на него знак неравенства не меняется:
\[ x+3<3(x^2+2) \]
\[ x+3<3x^2+6 \]
\[ 3x^2-x+3>0 \]
Дискриминант:
\[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot3=1-36=-35<0 \]
Ветви параболы направлены вверх, значит выражение \(3x^2-x+3\) положительно при всех \(x\). Следовательно, решений ограничивать нечем:
\[ \boxed{x\in\mathbb{R}} \]
2) \(\dfrac{x-2}{5-x}>1\)
ОДЗ: \(5-x\ne0\), то есть \(x\ne5\).
Переносим \(1\) влево, чтобы не умножать на знаменатель, знак которого меняется:
\[ \frac{x-2}{5-x}-1>0 \]
\[ \frac{x-2-(5-x)}{5-x}>0 \]
\[ \frac{2x-7}{5-x}>0 \]
Нуль числителя: \(x=\frac72\), нуль знаменателя: \(x=5\).
На промежутке \(\left(\frac72;5\right)\) дробь положительна. Например, при \(x=4\):
\[ \frac{2\cdot4-7}{5-4}=1>0 \]
Поэтому:
\[ \boxed{x\in\left(\frac72;5\right)} \]
Проверка: при \(x=0\) в первом неравенстве \(\frac32<3\) — верно; во втором \(x=4\): \(\frac{4-2}{5-4}=2>1\) — верно.
