номер 143
Краткий ответ:
\(\dfrac{x+3}{2+x^2}<3\) — решение: \(x\in\mathbb R\), то есть любое действительное число.
\(\dfrac{x-2}{5-x}>1\) — решение: \(x\in\left(\dfrac72;\,5\right)\).
1) \(\dfrac{x+3}{2+x^2}<3\)
Знаменатель \(2+x^2>0\) при любом \(x\), поэтому на него можно умножить обе части без изменения знака неравенства:
\[ x+3<3(2+x^2) \]
\[ x+3<6+3x^2 \]
\[ 3x^2-x+3>0 \]
Найдём дискриминант:
\[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot3=1-36=-35<0 \]
Корней нет, а коэффициент при \(x^2\) положительный, значит
\[ 3x^2-x+3>0 \]
при всех \(x\).
Ответ: \(x\in\mathbb R\).
2) \(\dfrac{x-2}{5-x}>1\)
Сначала нельзя просто умножать на \(5-x\): его знак зависит от \(x\). Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac{x-2}{5-x}-1>0 \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{x-2-(5-x)}{5-x}>0 \]
\[ \frac{x-2-5+x}{5-x}>0 \]
\[ \frac{2x-7}{5-x}>0 \]
Нули числителя:
\[ 2x-7=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac72 \]
Знаменатель обращается в нуль при
\[ 5-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=5 \]
Наносим точки \(\dfrac72\) и \(5\) на числовую прямую. Проверяем знаки:
- при \(x<\dfrac72\) дробь отрицательна;
- при \(\dfrac72<x<5\) дробь положительна;
- при \(x>5\) дробь отрицательна.
Нам нужно \(>0\), значит
\[ x\in\left(\frac72;\,5\right) \]
Проверка: возьмём \(x=4\):
\[ \frac{4-2}{5-4}=\frac21=2>1 \]
Верно. Концы не включаются, потому что неравенство строгое, а при \(x=5\) знаменатель равен нулю.
Ответ: \(\left(\dfrac72;\,5\right)\).
