номер 143
Краткий ответ
\(\dfrac{x+3}{2+x^2}<3\) — решений нет ограничений:
\[ x\in\mathbb R. \]\(\dfrac{x-2}{5-x}>1\) —
\[ x\in\left(\frac72;\,5\right). \]
1) \(\dfrac{x+3}{2+x^2}<3\)
Знаменатель \(2+x^2>0\) при любом \(x\), поэтому на него можно умножить без смены знака:
\[ x+3<3(2+x^2) \]
\[ x+3<6+3x^2 \]
\[ 3x^2-x+3>0 \]
Проверим дискриминант:
\[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot3=1-36=-35<0 \]
Корней нет, а коэффициент при \(x^2\) положителен, значит:
\[ 3x^2-x+3>0 \]
при всех \(x\). Следовательно, неравенство верно для всех действительных \(x\).
Ответ: \(x\in\mathbb R\).
2) \(\dfrac{x-2}{5-x}>1\)
Сразу отметить: \(x\ne5\), иначе знаменатель равен нулю.
Перенесём \(1\) в левую часть:
\[ \frac{x-2}{5-x}-1>0 \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{x-2-(5-x)}{5-x}>0 \]
\[ \frac{x-2-5+x}{5-x}>0 \]
\[ \frac{2x-7}{5-x}>0 \]
Нули числителя и знаменателя:
\[ 2x-7=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac72 \]
\[ 5-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=5 \]
Обе точки выколоты, потому что неравенство строгое, а \(x=5\) вообще не входит в область определения.
Знак выражения \(\dfrac{2x-7}{5-x}\):
- при \(x<\frac72\) числитель отрицательный, знаменатель положительный — выражение отрицательное;
- при \(\frac72<x<5\) числитель положительный, знаменатель положительный — выражение положительное;
- при \(x>5\) числитель положительный, знаменатель отрицательный — выражение отрицательное.
Значит:
\[ x\in\left(\frac72;5\right) \]
Проверка: при \(x=4\)
\[ \frac{4-2}{5-4}=2>1 \]
верно. При \(x=3\)
\[ \frac{3-2}{5-3}=\frac12>1 \]
неверно.
Главный принцип
Дробное неравенство лучше не умножать сразу на знаменатель с \(x\): его знак может быть неизвестен. Надёжнее перенести всё в одну часть, привести к общему знаменателю и решать методом интервалов. Отдельно нужно следить за точками, где знаменатель равен нулю.
Ответ:
- \(x\in\mathbb R\);
- \(x\in\left(\dfrac72;5\right)\).
