Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\(x^2 - 5x + 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 2,\; x_2 = 3\)

Как решать: шаг за шагом

1. Выписываем коэффициенты. Уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[a = 1,\qquad b = -5,\qquad c = 6\]

2. Считаем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]

3. Находим корни по формуле \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\] \[x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\]

4. Второй способ — теорема Виета. Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\):

\[x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6\]

Подбираем числа: \(2 + 3 = 5\) и \(2 \cdot 3 = 6\) — значит, корни \(2\) и \(3\). Здесь Виета работает быстрее, потому что числа целые и небольшие.

Проверка

\[2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \;\checkmark\] \[3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \;\checkmark\]

Ещё одна проверка — через разложение на множители:

\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x = 2\) или \(x = 3\). Всё сходится.

Принцип, который пригодится дальше

• Если \(D > 0\) — два разных корня;
• если \(D = 0\) — один корень (два совпавших), \(x = -\dfrac{b}{2a}\);
• если \(D < 0\) — действительных корней нет.

Плюс полезная привычка: перед громоздким дискриминантом проверь, не подбираются ли корни по Виете — при \(a = 1\) и целых коэффициентах это часто экономит время.