решение простое для 10 класса графическое

Краткий ответ: радиус второй окружности
\[ r=\frac{AF^2}{R}=\frac{2{,}66^2}{1{,}4}=5{,}054. \]

Почему так получается

Обозначим радиусы \(R=1{,}4\) и \(r\). Пусть вторая общая касательная касается окружностей в точках \(K\) и \(L\).

1. Из точки \(A\) к первой окружности проведены две касательные: \(AF\) и \(AK\). Касательные из одной точки равны, поэтому \[ AF=AK. \] Ко второй окружности тоже две касательные: \(AF\) и \(AL\), значит \[ AF=AL. \] Следовательно, \[ AK=AL,\qquad KL=2AF. \]

2. Для двух внешне касающихся окружностей расстояние между центрами равно \(R+r\), а длина общей внешней касательной между точками касания: \[ KL^2=(R+r)^2-(r-R)^2=4Rr. \] Поэтому \[ KL=2\sqrt{Rr}. \]

3. Так как \(KL=2AF\), получаем: \[ 2AF=2\sqrt{Rr}\quad\Rightarrow\quad AF^2=Rr. \]

4. Подставляем данные: \[ r=\frac{AF^2}{R} =\frac{2{,}66^2}{1{,}4} =\frac{7{,}0756}{1{,}4} =5{,}054. \]

Ответ: \(\boxed{5{,}054}\)

Проверка: \(\sqrt{1{,}4\cdot5{,}054}=\sqrt{7{,}0756}=2{,}66=AF\). Всё сходится.