Выполните задание 6 и сделай график функции
Кратко
В задании 6 две функции — исследуем обе.
а) \(y=x^3-3x^2-x+3\) — кубическая кривая. Нули: \(-1;\,1;\,3\). Локальный максимум около \((-0{,}15;\,3{,}08)\), локальный минимум около \((2{,}15;\,-3{,}08)\), перегиб в точке \((1;0)\).
б) \(y=x^4-10x^2+9\) — чётная W-образная кривая. Нули: \(-3;\,-1;\,1;\,3\). Локальные минимумы \((-2{,}24;\,-16)\) и \((2{,}24;\,-16)\), локальный максимум \((0;\,9)\). Глобальный минимум \(-16\), сверху функция не ограничена.
Принцип исследования
Для похожего задания действуй по плану:
- ОДЗ, чётность/нечётность, асимптоты.
- Нули функции и точка пересечения с осью \(Oy\).
- Первая производная \(y'\): нули, знаки, промежутки возрастания/убывания, экстремумы.
- Вторая производная \(y''\): выпуклость, точки перегиба.
- Нанеси характерные точки и проведи плавную линию.
а) \(y=x^3-3x^2-x+3\)
\(D(y)=\mathbb R\), разрывов и асимптот нет. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Нули: \[ x^3-3x^2-x+3=(x-3)(x^2-1)=(x-3)(x-1)(x+1). \] Значит, \[ x=-1,\quad x=1,\quad x=3. \] С осью \(Oy\): \(y(0)=3\).
Производная: \[ y'=3x^2-6x-1. \] \[ 3x^2-6x-1=0 \] \[ x=1\pm \frac{2}{\sqrt3}. \] То есть \[ x_{\max}=1-\frac2{\sqrt3}\approx -0{,}15, \qquad x_{\min}=1+\frac2{\sqrt3}\approx 2{,}15. \]
Значения: \[ y_{\max}=\frac{16}{3\sqrt3} =\frac{16\sqrt3}{9}\approx 3{,}08, \] \[ y_{\min}=-\frac{16}{3\sqrt3} =-\frac{16\sqrt3}{9}\approx -3{,}08. \]
Промежутки:
- возрастает на \(\left(-\infty;\,1-\frac2{\sqrt3}\right)\cup \left(1+\frac2{\sqrt3};\,+\infty\right)\);
- убывает на \(\left(1-\frac2{\sqrt3};\,1+\frac2{\sqrt3}\right)\).
- Вторая производная: \[ y''=6x-6=6(x-1). \] При \(x=1\) перегиб: \((1;0)\).
При \(x<1\) график имеет форму \(\cap\), при \(x>1\) — форму \(\cup\).
- Знаки функции: \[ y<0 \text{ на }(-\infty;-1)\cup(1;3), \] \[ y>0 \text{ на }(-1;1)\cup(3;+\infty). \]
б) \(y=x^4-10x^2+9\)
\(D(y)=\mathbb R\). Функция чётная: \[ y(-x)=y(x), \] поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\). Асимптот нет.
Нули: \[ x^4-10x^2+9=(x^2-1)(x^2-9). \] Значит, \[ x=\pm1,\quad x=\pm3. \] С осью \(Oy\): \(y(0)=9\).
Производная: \[ y'=4x^3-20x=4x(x^2-5). \] Критические точки: \[ x=0,\quad x=-\sqrt5,\quad x=\sqrt5. \]
Значения: \[ y(0)=9, \] \[ y(\pm\sqrt5)=25-50+9=-16. \]
Промежутки:
- убывает на \((-\infty;-\sqrt5)\cup(0;\sqrt5)\);
- возрастает на \((-\sqrt5;0)\cup(\sqrt5;+\infty)\).
Значит:
- \(x=\pm\sqrt5\) — точки минимума, \(y=-16\);
- \(x=0\) — точка локального максимума, \(y=9\).
- Вторая производная: \[ y''=12x^2-20=4(3x^2-5). \] Точки перегиба: \[ x=\pm\sqrt{\frac53}=\pm\frac{\sqrt{15}}3\approx \pm1{,}29. \] Значение: \[ y=\left(\frac53\right)^2-10\cdot\frac53+9 =\frac{25}{9}-\frac{50}{3}+9 =-\frac{44}{9}\approx -4{,}89. \]
То есть точки перегиба: \[ \left(\pm\sqrt{\frac53};\,-\frac{44}{9}\right). \]
При \(|x|<\sqrt{5/3}\) график имеет форму \(\cap\), при \(|x|>\sqrt{5/3}\) — форму \(\cup\).
- Знаки функции: \[ y>0 \text{ на }(-\infty;-3)\cup(-1;1)\cup(3;+\infty), \] \[ y<0 \text{ на }(-3;-1)\cup(1;3). \]
Точки для построения графиков
а)
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline y&-15&0&3&0&-3&0&15 \end{array} \]
Дополнительно нанеси:
\[ \left(1-\frac2{\sqrt3};\,3{,}08\right),\quad (1;0),\quad \left(1+\frac2{\sqrt3};\,-3{,}08\right). \]
График: слева уходит вниз, проходит через \((-1;0)\), поднимается к локальному максимуму, затем спускается через \((0;3)\) и \((1;0)\), достигает локального минимума, проходит через \((3;0)\) и уходит вверх.
б)
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&-3&-\sqrt5&-2&-1&0&1&2&\sqrt5&3\\ \hline y&0&-16&-15&0&9&0&-15&-16&0 \end{array} \]
График W-образный: слева уходит вверх, проходит через \((-3;0)\), опускается к минимуму \(y=-16\), поднимается через \((-1;0)\) к максимуму \((0;9)\), затем симметрично опускается и снова уходит вверх.
Проверка
- Для а) \(y(1)=0\), \(y(0)=3\), а знаки \(y'\) дают именно максимум слева и минимум справа.
- Для б) \(y(-x)=y(x)\), значения в симметричных точках совпадают; \(y(\pm\sqrt5)=-16\), \(y(0)=9\). Значит, форма графика — симметричная «W».
Обсуждение
3 сообщенияВыполните задание 6 и сделай график функциий
Использую уже полученное исследование — оно относится к этим же функциям. Ниже — точки для точного построения и схемы графиков.
а) \(y=x^3-3x^2-x+3\)
Ключевые точки:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-15\) | \(0\) | \(3\) | \(0\) | \(-3\) | \(0\) | \(15\) |
Дополнительно нанеси:
- локальный максимум: \[ x=1-\frac{2}{\sqrt3}\approx -0{,}15,\qquad y=\frac{16\sqrt3}{9}\approx 3{,}08; \]
- локальный минимум: \[ x=1+\frac{2}{\sqrt3}\approx 2{,}15,\qquad y=-\frac{16\sqrt3}{9}\approx -3{,}08; \]
- точку перегиба \((1;0)\).
Схема:
a) y
↑
15 │ ● (4; 15)
│ ╱
5 │ ╱
3 │ ● max ● (0; 3)
│ ╱ ╲ ╱
0 └──●───────●────────●──────→ x
−1 1 3
│ ╲ ╱
−3 │ ● min (≈2,15; −3,08)
│
−15 │ ● (−2; −15)
График слева уходит вниз, проходит через \((-1;0)\), поднимается к максимуму около \((-0{,}15;3{,}08)\), затем через \((0;3)\) и \((1;0)\) опускается к минимуму около \((2{,}15;-3{,}08)\), после чего через \((3;0)\) уходит вверх.
б) \(y=x^4-10x^2+9\)
Ключевые точки:
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(-15\) | \(0\) | \(9\) | \(0\) | \(-15\) | \(0\) |
Дополнительно нанеси:
- минимумы: \[ (\pm\sqrt5;\,-16)\approx(\pm2{,}24;\,-16); \]
- максимум: \[ (0;9); \]
- точки перегиба: \[ \left(\pm\sqrt{\frac53};\,-\frac{44}{9}\right) \approx(\pm1{,}29;\,-4{,}89). \]
Схема:
b) y
↑
9 │ ● (0; 9)
│ ╱ ╲
0 └──●─────● ●─────●──→ x
−3 −1 1 3
│ ╲ ╱
−16 │ ● ●
(−√5;−16) (√5;−16)
График симметричен относительно оси \(Oy\): слева уходит вверх, проходит через \((-3;0)\), опускается к минимуму \(-16\), поднимается через \((-1;0)\) к максимуму \((0;9)\), затем симметрично опускается и снова уходит вверх.
Как перенести на бумагу: отметь точки из таблиц и дополнительные точки экстремумов, затем соедини их плавной линией. В точках максимума и минимума касательная горизонтальна; асимптот у обеих функций нет.
Проверка: для а) \(y(-1)=y(1)=y(3)=0\); для б) \(y(\pm1)=y(\pm3)=0\), \(y(0)=9\), \(y(\pm\sqrt5)=-16\). Всё совпадает с исследованием.
Почему в точке x=0 у функции б максимум?ГьбФ
