Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1 = 2,\; x_2 = 3\).
Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета)
Приведённое уравнение \(x^2+px+q=0\) удобно решать через теорему Виета: если корни существуют, то
\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q. \]
У нас \(p=-5,\ q=6\), значит:
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6. \]
Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. Тогда
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=2 \text{ или } x=3. \]
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}, \] \[ x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2. \]
Проверка
- \(x=2:\ 4-10+6=0\) ✔
- \(x=3:\ 9-15+6=0\) ✔
Принцип на будущее: у приведённого уравнения сначала пробуй устно подобрать корни по Виету (сумма \(=-p\), произведение \(=q\)); если числа «не подбираются» или \(a\neq 1\), считай дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
Обсуждение
6 сообщенийy=2x+3
Ты прислал только саму функцию \(y=2x+3\), а что с ней нужно сделать — не написал. Уточни, пожалуйста: построить график, найти точки пересечения с прошлым уравнением \(x^2-5x+6=0\), проверить, проходит ли она через точку, или что-то ещё?
Да
«Да» подходит сразу ко всем вариантам, поэтому я не могу выбрать за тебя. Уточни цифрой, что нужно:
- построить график \(y=2x+3\);
- решить систему \(\begin{cases}x^2-5x+6=0\\ y=2x+3\end{cases}\);
- проверить, проходит ли прямая через какую-то точку (тогда назови точку).
Если имелось в виду второе — корни уже найдены: \(x=2\) и \(x=3\), тогда \(y=2\cdot2+3=7\) и \(y=2\cdot3+3=9\), то есть решения системы: \((2;\,7)\) и \((3;\,9)\).
Построй график
График функции \(y=2x+3\) — прямая линия, потому что это линейная функция вида \(y=kx+b\), где \(k=2,\ b=3\).
Что даёт формула сразу
- \(b=3\) — прямая пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;\,3)\);
- \(k=2>0\) — прямая идёт «вверх слева направо», причём на 1 вправо → на 2 вверх;
- пересечение с осью \(Ox\): \(2x+3=0 \Rightarrow x=-1{,}5\), точка \((-1{,}5;\,0)\).
Для прямой достаточно двух точек, но для надёжности возьмём несколько:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=2x+3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) |
Эскиз
y
7 ┤ · · · · · ● (2; 7)
6 ┤ · · · · · ·
5 ┤ · · · · ● · (1; 5)
4 ┤ · · · · · ·
3 ┤ · · · ● · · (0; 3)
2 ┤ · · · · · ·
1 ┤ · · ● · · · (−1; 1)
0 ┼─·─●─┴─┴─┴─┴── x
−1 ┤ · ● · · · · (−2; −1)
−3 −2 −1 0 1 2
Точки лежат на одной прямой — проводим через них линейку.
Как строить такую прямую в следующий раз
- Найди точку на оси \(Oy\): это \((0;\,b)=(0;\,3)\).
- От неё отложи шаг «1 вправо, \(k\) вверх» (если \(k<0\) — вниз): получаешь \((1;\,5)\).
- Соедини две точки линейкой и продли прямую в обе стороны — график готов.
