Реши задание на изображении
Краткий ответ
1.
- \(\sin\frac{3\pi}{2}+\cos\pi=-1+(-1)=-2\);
- \(\cos\frac{\pi}{2}+\sin 2\pi=0+0=0\).
2.
- \(\alpha=5\pi:\quad \sin\alpha=0,\ \cos\alpha=-1\);
- \(\alpha=\frac{5\pi}{2}:\quad \sin\alpha=1,\ \cos\alpha=0\);
- \(\alpha=2\pi k,\ k\in\mathbb Z:\quad \sin\alpha=0,\ \cos\alpha=1\).
3*.
Точка после поворота:
\[
M\left(\cos\left(7\pi+\frac{\pi}{6}\right);\ \sin\left(7\pi+\frac{\pi}{6}\right)\right)
=
M\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right).
\]
То есть абсцисса \(x=-\frac{\sqrt3}{2}\), ордината \(y=-\frac12\).
Как понять принцип
На единичной окружности при повороте точки \(A(1;0)\) на угол \(\alpha\) получается точка с координатами
\[
(\cos\alpha;\ \sin\alpha).
\]
Значит:
- косинус — это абсцисса \(x\);
- синус — это ордината \(y\);
- значения синуса и косинуса повторяются через \(2\pi\).
1. Вычисления
\[ \sin\frac{3\pi}{2}=-1,\qquad \cos\pi=-1, \] поэтому \[ \sin\frac{3\pi}{2}+\cos\pi=-2. \]
\[ \cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin2\pi=0, \] поэтому сумма равна \(0\).
2. Синус и косинус угла
\[ 5\pi=4\pi+\pi. \] Угол \(4\pi\) — это два полных оборота, его можно отбросить. Остаётся \(\pi\): \[ \sin5\pi=\sin\pi=0,\qquad \cos5\pi=\cos\pi=-1. \]
\[ \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}. \] Отбрасываем \(2\pi\): \[ \sin\frac{5\pi}{2}=\sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \cos\frac{5\pi}{2}=\cos\frac{\pi}{2}=0. \]
\[ \alpha=2\pi k \] — это \(k\) полных оборотов. Точка возвращается в \(A(1;0)\), поэтому \[ \sin 2\pi k=0,\qquad \cos 2\pi k=1. \]
3. Поворот точки \(A(1;0)\)
Угол: \[ 7\pi+\frac{\pi}{6} \] можно уменьшить на \(6\pi\) — это три полных оборота: \[ 7\pi+\frac{\pi}{6}-6\pi=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}. \] Угол \(\frac{7\pi}{6}\) находится в третьей четверти, поэтому и синус, и косинус отрицательны. Опорный угол: \[ \frac{7\pi}{6}-\pi=\frac{\pi}{6}. \] Значит, \[ \cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12. \]
Проверка: точка лежит на единичной окружности: \[ \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(-\frac12\right)^2 =\frac34+\frac14=1. \] Всё верно.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни 3
Пункт 3: поворот точки на единичной окружности
Исходная точка:
\[ A(1;0) \]
После поворота на угол \(\alpha\) точка единичной окружности имеет координаты:
\[ (\cos\alpha;\ \sin\alpha) \]
То есть первая координата — косинус, вторая — синус. Не наоборот.
У нас угол:
\[ \alpha=7\pi+\frac{\pi}{6} \]
1. Убираем полные обороты
Полный оборот — это \(2\pi\). Если прибавить или вычесть \(2\pi\), точка на окружности окажется в том же месте.
В числе \(7\pi\) можно выделить:
\[ 7\pi=6\pi+\pi \]
а \(6\pi=3\cdot 2\pi\) — это три полных оборота. Их можно отбросить:
\[ 7\pi+\frac{\pi}{6}=6\pi+\pi+\frac{\pi}{6} \]
\[ =6\pi+\frac{7\pi}{6} \]
Значит, точка после поворота на \(7\pi+\frac{\pi}{6}\) совпадает с точкой после поворота на:
\[ \frac{7\pi}{6} \]
2. Определяем четверть
\[ \pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{3\pi}{2} \]
То есть угол \(\frac{7\pi}{6}\) находится в третьей четверти.
В третьей четверти:
- косинус отрицательный;
- синус отрицательный.
Значит, обе координаты будут со знаком минус.
3. Находим модули координат
Угол \(\frac{7\pi}{6}\) можно записать так:
\[ \frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6} \]
По формулам:
\[ \cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\frac{\pi}{6} \]
\[ \sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6} \]
А мы знаем:
\[ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin\frac{\pi}{6}=\frac12 \]
Поэтому:
\[ \cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12 \]
4. Записываем координаты
Координаты точки:
\[ \left(\cos\frac{7\pi}{6};\ \sin\frac{7\pi}{6}\right) \]
Подставляем:
\[ M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\ -\frac12\right) \]
Проверка
Точка должна лежать на единичной окружности, то есть:
\[ x^2+y^2=1 \]
Проверяем:
\[ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac12\right)^2 \]
\[ =\frac34+\frac14=1 \]
Всё верно.
Ответ:
\[ \boxed{M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\ -\frac12\right)} \]
То есть абсцисса:
\[ x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
ордината:
\[ y=-\frac12 \]
Главная идея: координаты точки на единичной окружности — это \((\cos\alpha;\sin\alpha)\), а полные обороты \(2\pi,4\pi,6\pi,\dots\) можно отбрасывать.
