с дано

Ответ: \(BK=\dfrac{59}{2}=29\dfrac12\). В поле можно ввести 59/2 или 29 1/2.

Дано: \(BCD\) — равнобедренный, \(BD\) — основание, \(BK\) — биссектриса,
\(CK=\dfrac{59}{42}\), \(KD=\dfrac{59}{6}\).
Найти: \(BK\).

Решение:

1. Так как \(BD\) — основание равнобедренного треугольника, боковые стороны равны: \[ BC=CD. \] При этом \[ CD=CK+KD=\frac{59}{42}+\frac{59}{6} =\frac{59+413}{42} =\frac{236}{21}. \] Значит, \[ BC=\frac{236}{21}. \]

2. По свойству биссектрисы треугольника: \[ \frac{CK}{KD}=\frac{BC}{BD}. \] Считаем отношение: \[ \frac{CK}{KD} =\frac{59/42}{59/6} =\frac{6}{42} =\frac17. \] Тогда \[ \frac{BC}{BD}=\frac17, \] откуда \[ BD=7BC=7\cdot\frac{236}{21}=\frac{236}{3}. \]

3. Для длины биссектрисы \(BK\) используем формулу \[ BK^2=BC\cdot BD-CK\cdot KD. \] Подставляем: \[ BK^2= \frac{236}{21}\cdot\frac{236}{3} -\frac{59}{42}\cdot\frac{59}{6}. \] Так как \(236=4\cdot59\): \[ BK^2= \frac{16\cdot59^2}{63}-\frac{59^2}{252} = \frac{59^2}{4}. \] Поэтому \[ BK=\frac{59}{2}. \]

Идея для похожих задач: биссектриса даёт отношение двух соседних сторон; находим все стороны, а затем длину биссектрисы — по формуле
\[ \ell^2=ab-mn, \] где \(a,b\) — стороны, между которыми проведена биссектриса, а \(m,n\) — отрезки противоположной стороны.

Нюанс: по этим числам \(BD=7BC\), то есть формально нарушается неравенство треугольника. В онлайн-задании всё равно ожидается ответ, полученный по стандартной схеме: \(59/2\).