Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) 210; б) 3003
- а) 35; б) 84; в) 455
- 90 (если предметы различны)
- 840
- 215 760
Ключевая идея
Если порядок выбора не важен, используют число сочетаний:
\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Если выбирают независимо две группы, результаты перемножают.
1. Стартовая шестёрка
Порядок игроков в шестёрке не важен, поэтому:
а) из 10 игроков:
\[ C_{10}^6=C_{10}^4=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210 \]
б) из 14 игроков:
\[ C_{14}^6=3003 \]
Ответ: а) 210; б) 3003.
2. Выбор трёх газет
Выбираем 3 газеты, порядок не важен:
\[ C_7^3=35 \]
\[ C_9^3=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84 \]
\[ C_{15}^3=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}=455 \]
Ответ: а) 35; б) 84; в) 455.
3. Раздать 6 предметов трём лицам по 2
Считаем предметы различными.
Первому человеку выбираем 2 предмета:
\[ C_6^2=15 \]
Второму — 2 из оставшихся 4:
\[ C_4^2=6 \]
Третьему достаются последние 2 предмета:
\[ C_2^2=1 \]
Перемножаем:
\[ 15\cdot6\cdot1=90 \]
Ответ: 90 способов.
Если бы все 6 предметов были одинаковыми, способ был бы только один, но в таких задачах предметы обычно считаются различными.
4. 2 карандаша и 3 ручки
Выбор карандашей и ручек независим:
\[ C_6^2\cdot C_8^3 \]
\[ C_6^2=15,\qquad C_8^3=56 \]
\[ 15\cdot56=840 \]
Ответ: 840 способов.
5. Ровно 2 туза из 6 карт
Нужно выбрать:
2 туза из 4: \[ C_4^2=6 \]
ещё 4 карты, но уже не тузы, из \(36-4=32\) карт: \[ C_{32}^4=35\,960 \]
Перемножаем:
\[ C_4^2\cdot C_{32}^4=6\cdot35\,960=215\,760 \]
Ответ: 215 760 способов.
Проверка: во всех пунктах порядок выбора не учитывается, поэтому использованы сочетания; там, где выбираются две независимые группы, их количества перемножены.
