Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Хороший вопрос — давай разберём именно этот переход.

Откуда взялось \(x\)

Само \(x\) никуда не «появилось» — это переменная из исходного уравнения \(x^2-5x+6=0\). Вся идея в том, что многочлен можно записать не суммой, а произведением двух скобок, и в каждой скобке стоит \(x\):

\[ x^2-5x+6=(x-\square)(x-\square). \]

Почему в скобках именно \(x\)? Потому что при раскрытии скобок должно получиться \(x^2\):

\[ (x-a)(x-b)=x\cdot x - ax - bx + ab = x^2-(a+b)x+ab. \]

Видишь? Чтобы старший член был \(x^2\), в каждой скобке нужен ровно один \(x\). А числа \(a\) и \(b\) подбираются так, чтобы совпали остальные коэффициенты.

Почему в скобках минусы и числа 2 и 3

Нам нужно:

\[ x^2-5x+6=x^2-(a+b)x+ab. \]

Сравниваем коэффициенты:

• \(a+b=5\),
• \(ab=6\).

Подходят \(a=2\) и \(b=3\). Значит:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Почему это работает для уравнения

Смотри, что даёт такая запись:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы одна скобка равна нулю:

• \(x-2=0 \Rightarrow x=2\);
• \(x-3=0 \Rightarrow x=3\).

То есть мы как бы «разобрали» сложное выражение на две простые части. Это и есть смысл второго этапа: вместо квадратного уравнения решаем два линейных.

Проверка: раскроем скобки обратно

\[ (x-2)(x-3)=x\cdot x - x\cdot 3 - 2\cdot x + 2\cdot 3 \] \[ =x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]

Получили ровно исходное выражение — значит, разложение верное.

Коротко: \(x\) в скобках — это переменная уравнения; скобки \((x-2)\) и \((x-3)\) означают «\(x\), из которого вычли корень». Произведение таких скобок равно нулю при \(x=2\) и \(x=3\).

Хочешь, покажу этот же приём на другом примере — например, \(x^2-7x+12=0\)?

Подробное решение уравнения

\[ x^2-5x+6=0 \]

Это квадратное уравнение вида

\[ ax^2+bx+c=0, \]

где

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6. \]

1. Найдём дискриминант

Формула дискриминанта:

\[ D=b^2-4ac. \]

Подставляем значения:

\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6. \]

Считаем:

\[ D=25-24=1. \]

Так как \(D>0\), уравнение имеет два различных корня.

2. Найдём корни

Формула корней:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]

Подставляем:

\[ x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}. \]

Упрощаем:

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}. \]

Теперь отдельно находим каждый корень.

Первый корень:

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2. \]

Второй корень:

\[ x_2=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3. \]

3. Проверка

Проверим \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0. \]

Проверим \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Ответ

\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=3} \]

Или короче:

\[ \boxed{x=2;\ 3} \]